Лекция 8.

1.3.Компонентные и топологические уравнения

Граф схемы

Электронные цепи можно представить схемами с многополюсными компонентами. Например, схема транзисторной усилительной цепи (рис. 1.27,а) в квазилинейном режиме показана на рис. 1.27,б. Если многополюсные компоненты заменить их моделями, то получим схему с двухполюсными компонентами. Так, воспользовавшись упрощенной высокочастотной моделью транзистора (рис. 1.22,а) при r_вк = ∞ и r_кэ = ∞, получаем схему электронной цепи, приведенную на рис. 1.27,в.

При составлении уравнений удобно пользоваться графом схемы [112], представляющим собой совокупность (множество) ветвей и вершин. Обычно ветвь начинается в одной вершине и оканчивается в другой. Если начало и конец ветви определяются одной и той же вершиной, то эта ветвь образует петлю. Ветви соединяют между собой, объединяя вершины.

Двухполюсным компонентам соответствуют ветви графа, оканчивающиеся двумя вершинами (рис. 1.28,я). Каждой ветви приписывают некоторое направление, которое совпадает с положительным направлением тока и противоположно положительному направлению напряжения. Многополюсный компонент отображают его полюсным графом [42, 53], вид которого зависит от выбранной для описания компонента системы токов и напряжений на его полюсах. Так, для (m+1)-полюсника (см. рис. 1.28,б) полюсный граф состоит из т ветвей, направленных от т его полюсов к некоторому полюсу

m+1, принятому за начало отсчета напряжений (рис. 1.28,б). По существу каждая ветвь графа схемы отображает соответствующее уравнение ее компонента. В граф схемы включают также ветви искомых токов и напряжений.

На рис. 1.29,а показан граф транзисторной схемы (рис. 1.27,б) для случая, когда параметры транзисторов определены в схеме с общим эмиттером, а на рис. 1.29,б — для случая, когда параметры транзистора Т₁. определены в схеме с общей базой, а транзистора Т₂ — в схеме с общим коллектором. Ветвь 7 соответству-

ет входному источнику напряжения U_вх, ветви 1 и 2 — емкостям C₁ и С₂, ветви 8-11 — сопротивлениям R₁—R₄, ветвь 3— выходному напряжению U_вых, а ветви 4 и 5 — полюсному графу транзистора Т₁, ветви 6 и 12— полюсному графу транзистора Т₂. Направления ветвей 3 и 7

противоположны направлениям напряжений в схеме (рис. 1.27,в), ветви 4, 5, 6 и 12 полюсных графов транзисторов направлены к общему узлу, относительно которого определены их параметры, а направления остальных ветвей выбраны произвольно.

Граф схемы с двухполюсными компонентами совпадает то структуре с самой схемой, например, граф схемы замещения (рис. 1.27,в) показан на рис. 1.30. При этом графы многополюсных компонентов определяются их схемными моделями с зависимым источниками (ветви 9—13 для транзистора Т₁ и ветви 14—18 для транзистора Т₂). Направления ветвей зависимых источников и управляющих ветвей выбирают в соответствии с направлениями, принятыми в схемных моделях.

Схемы с кондуктивными связями изображают связными графами, а граф схемы с индуктивными связями может оказаться несвязным, состоящим от двух или не-

скольких отдельных частей. В общем случае частями графа могут быть как отдельные ветви, так и изолированные вершины. Любой граф, образованный из ветвей и вершин некоторого графа, является его подграфом.

Компонентные уравнения

В зависимости от характера компонентов ветви графа электронных схем можно разделить на следующие типы:

1) ветви пассивных двухполюсников (сопротивлений, емкостей, индуктивностей);

2) ветви полюсных графов многополюсных компонентов;

3) ветви независимых источников (напряжения и тока);

4) ветви зависимых источников (напряжения и тока);

5) управляющие ветви (по напряжению и току) зависимых источников;

6) ветви искомых токов и напряжений.

Каждой из ветвей соответствует уравнение двухполюсного или многополюсного компонента (компонентное уравнение). В зависимости от вида компонентных уравнений ветви разбивают на два подмножества [61]: у-ветви (уравнения выражают токи) и z-ветви (уравнения выражают напряжения). Ветви, которые допускают выражения как для токов, так и напряжений, называют взаимно определенными. Отнесение ветви к одному из двух подмножеств зависит от ее характера, связи с другими ветвями и процедуры формирования уравнений схемы.

В общем случае токи у-ветвей I_у и напряжения 2-ветвей U_z могут зависеть от токов и напряжений любых ветвей, а также от задающих токов J_в и напряжений Е_в. Поэтому компонентные уравнения ветвей графа схемы запишем в виде

(1.83)

Эти уравнения можно объединить в одно компонентное уравнение

или

(1.84)

где векторы X' и X" выражаются через векторы токов и напряжений у- и z-ветвей:

(1.85)

а компонентные матрицы V, V и задающий вектор F имеют вид

(1.86)

Элементами компонентных матриц являются параметры компонентов схемы. При этом в Y_в входят проводимости двухполюсников и управляющие проводимости зависимых источников тока, управляемых по напряжению у-ветвями, а в Z_в — сопротивления двухполюсников и управляющие сопротивления зависимых источников напряжения, управляемых по току z-ветвями. Элементами остальных субматриц являются соответствующие управляющие параметры зависимых источников, смысл которых ясен из уравнений (1.83). Компонентное уравнение можно упростить, если предположить, что y-ветви могут быть только управляющими по напряжению, а z-ветви — только управляющими по току. Тогда V'=0 и (1.84) приводится к виду

(1.87)

Это уравнение можно распространить и на общий случай, вводя дополнительные управляющие ветви. Последовательно с управляющими по току y-ветвями вводят короткозамкнутые управляющие по току 2-ветви, а параллельно с управляющими по напряжению z-ветвями — разомкнутые управляющие по напряжению y-ветви. Условным изображением управляющих ветвей (рис. 1.31) соответствуют компонентные уравнения

(1.88)