Лекция 2.

Многополюсные компоненты

Для описания многополюсного компонента с m+1 полюсами требуется m независимых уравнений, включающих 2m связанных с ним токов и напряжений. Выбор независимых токов и напряжений многополюсника зависит как от его свойств, так и от удобства получаемой системы уравнений для анализа схемы. Наиболее простой способ указан на рис. 1.7,а (напряжения отсчитываются от одного из полюсов ко всем остальным полюсам, а токи направлены от полюсов внутрь многополюсника). В общем виде уравнения многополюсного компонента можно записать следующим образом:

(1.8)

Разобьем множество т токов i₁, i₂, ..., i_m (ток i_m+1 зависимый, так как он всегда равен сумме остальных токов с обратным знаком) и т напряжений и₁ , и₂ , ... , и_т на два подмножества х₁ , х₂, ... , х_т и у₁ , у₂ , ... , у_т по т

элементов (в каждое подмножество могут входить как токи, так и напряжения многополюсника). Если уравнения (1.8) разрешены относительно элементов одного из этих подмножеств, то их можно представить в виде

(1.9)

Для нелинейных многополюсных компонентов столь общая форма уравнений может оказаться слишком сложной и неудобной для практического использования. Поэтому такие компоненты, как электровакуумные лампы, транзисторы и др., обычно представляют схемными моделями, которые состоят из линейных и нелинейных двухполюсников и зависимых источников (подробно этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе). Если же многополюсник линейный, то его описывают уравнениями

(1.10)

или в матричной форме:

(1.11)

Квадратная матрица m-го порядка и вектор у₀:

(1.12)

являются обобщенными параметрами многополюсного компонента. Если подмножества величин x_i и y_i образованы так, что в одно из них входят все токи, а в другое — напряжения (однородное разбиение), то все элементы матрицы ω имеют одинаковую размерность (проводимость или сопротивление); в этих случаях матрицу ω называют соответственно матрицей проводимости или сопротивления.

Уравнений нелинейного многополюсника в квазилинейном режиме приводятся к виду

(1.13)

Эта форма уравнений совпадает с (1.10), с тем различием, что она записана для приращений токов и напряжений, а также что y₀=0 (многополюсник в квазилинейном режиме в большинстве случаев неавтономный). Следовательно, в данном случае нелинейный многополюсный компонент также может быть представлен матрицей w, элементы которой выражаются значениями частных производных в рабочей области, т. е.

(1.14)

В дальнейшем при рассмотрении квазилинейных режимов знак приращения А в приращениях токов и напряжений будем опускать.

При выборе внешних токов и напряжений многополюсного компонента по рис. 1.7,а один из его полюсов оказывается в особом положении (от него отсчитывают напряжения других полюсов, а ток через этот полюс не фигурирует в системе уравнений). Часто удобнее пользоваться системой уравнений для полюсных токов j₁, j₂, ... , j_m, выраженных через напряжения полюсов и₁, u₂, ... , и_n, отсчитываемых от некоторой точки О вне многополюсного компонента (рис. 1.7,б):

(1.15)

Матрица коэффициентов этих уравнений образует особенную (неопределенную) матрицу проводимости многополюсного компонента [105, 106, 108]:

(1.16)

В соответствии с первым законом Кирхгофа одно из уравнений системы (115) является зависимым, поэтому сумма всех элементов в каждой строке и в каждом столбце этой матрицы тождественно равна нулю. Таким образом, из т² элементов особенной матрицы проводимости только (т—1)² элементов независимы.

В качестве величии, характеризующих состояние многополюсного компонента, можно выбрать напряжения е₁, е₂, ... ,е_т и токи i₁, i₂, ..., i_m на его сторонах [147], как указано на рис. 1.7,в. При этом система уравнений неавтономного многополюсника имеет вид

(1.17)

Матрица коэффициентов этих уравнений образует особенную (неопределенную) матрицу сопротивления многополюсного компонента [107, 108]:

(1.18)

Одно из уравнений системы (1.17) является зависимым по второму закону Кирхгофа, вследствие чего суммы элементов этой матрицы в каждой строке и в каждом столбце тождественно равны нулю. Таким образом, как и для матрицы проводимости, из т² элементов независимыми могут быть только (т—1)².