Лекция 4.

Нелинейные модели постоянного тока с аппроксимацией вольт-амперных характеристик

Нелинейные модели постоянного тока для электронных компонентов часто получают на основе соответствующей аппроксимации статических вольт-амперных характеристик прибора (кусочно-линейной или функциональной). Например, в работе [36] представлена модель туннельного диода, в которой с помощью источника тока аппроксимируется вольт-амперная характеристика и однозначно описывается поведение отрицательного сопротивления туннельных диодов. В работе [96] описаны нелинейные модели униполярных полевых транзисторов при работе на больших сигналах, полученные с помощью кусочно-линейной аппроксимации.

Для иллюстрации на рис. 1.13 приведена кусочно-линейная модель транзистора, которой соответствуют выходные и входные статические характеристики, показанные на рис. 1.14. Координаты точек перегиба выходных характеристик прибора, лежащие на линии ОА (рис. 1.14,а), определяются уравнением

(1.28)

Наклон характеристик в первом квадранте (для активного режима, когда идеальный вентиль Д_э схемы рис. 1.13 открыт, а вентиль Д_к заперт)

(1.29)

а во втором квадранте (для режима насыщения, когда оба идеальных вентиля Д_э и Д_к открыты)

(1.30)

где т — коэффициент, определяемый выбором масштаба по осям токов и напряжений.

Точки перегиба входных характеристик (рис. 1.14,б) лежат на оси абсцисс. Для активного режима (слева от характеристики при u_бк=0) наклон характеристик

(1.31)

а расстояние между ними на оси

(1.32)

В режиме насыщения (справа от характеристики при uбк=0) наклон характеристик и расстояние между ними изменяются соответственно как

(1.33)

(1.34)

Нелинейные модели постоянного тока на основе диффузионных уравнений

Физические процессы в некоторой одномерной модели полупроводника приближенно описывают уравнениями, определяющими плотности токов носителей тока j_p и j_п, а также концентрации самих носителей — дырок р(х, t) и электронов п(х, t) I130, 135]:

(1.35)

(1.36)

(1.37)

(1.38)

где Е — напряженность электрического поля; р₀ и n₀— равновесная концентрация дырок и электронов; τ_р и τ_n — время жизни дырок и электронов соответственно; μ_p и μ_n — подвижности носителей; D_p и D_n — коэффициенты диффузии.

Кроме того, используют уравнение Пуассона для плотности суммарного объемного заряда

(1.39)

где ε — электрическая проницаемость; N_d и N_a— концентрации донорных и акцепторных примесей.

При произвольных граничных условиях уравнения (1.35) — (1.38) не имеют аналитических решений и интегрируются численными методами с применением вычислительных машин. В граничные условия обычно входят значения равновесных концентраций неосновных носителей, размеры р—n-переходов, а также напряжения на р—n-переходах.

Для электронных цепей, использующих дискретные транзисторы в виде комплектующих элементов, при решении уравнений (1.35) — (1.38) вводят упрощения: устраняют из указанных уравнений пространственные производные от плотности неосновных носителей. Созданные к настоящему времени упрощенные модели в большинстве случаем относятся к широко используемым па практике диффузионным транзисторам. Наибольшее распространение получили: модель с сосредоточенными компонентами для линии передачи, эквивалентной р—n-переходам [218], модель с параметрами прямого и обратного включения р—п-переходов [196] и зарядная модель [166], при которой предварительно интегрируют плотности неосновных носителей по объему базы. Универсальная модель транзистора, основанная на комбинации двух последних моделей, предложена ,в работе [161].

Нелинейная модель диода для постоянного тока (др/дt = 0, dn/dt = O) может быть получена из уравнений (1.36) и (1.38), с помощью которых определяют суммарный ток через р—n-переход:

(1.40)

В практически используемую нелинейную модель полупроводникового диода часто, кроме идеального диода с характеристикой (141), включают еще линейные сопротивления (рис. 1.15). При этом сопротивление R1 учитывает падение напряжения в материале полупроводника, а R2 — обратное сопротивление диода.

Для статической нелинейной модели идеализированного транзистора, предложенной Эберсом и Моллом (рис. 1.16,а), в общем случае токи эмиттера и коллектора складываются из двух составляющих (инжектируемой и собираемой):

(1.41)

где i'_э, i'_к — токи эмиттерного и коллекторного переходов, определяемые в соответствии с формулой (1.40); α_I, α_N — коэффициенты обратной (инверсной) и прямой (нормальной) передачи тока транзистора с общей базой. На основании (1.40) и (1.41) можно записать

(1.42)

где I'_э0, I'_к0 - токи насыщения р—n-переходов, определяемые аналогично току I₀ из уравнения (1.40), причем

Для современных транзисторов значения α_N лежат в диапазоне l>α_N>0,9. Для сплавных транзисторов 0,75<α_I<α_N, а для транзисторов с диффузионной базой 0,4<α_I<0,6.

Практическая нелинейная статическая модель транзистора, как и для диода, дополняется резисторами R_б, R_k,R_э (рис. 1.16,б), учитывающими явления в толщине полупроводникового материала вне р—n-переходов.

Из модели транзистора (рис. 16,б) может быть получена нелинейная гибридная П-образная модель (рис. 16,в), для которой [12]

(1.43)

и которая удобна для последующего перехода к линейной малосигнальной гибридной П-образной модели.