Лекция 13.

1.4. Преобразование уравнений схемы

KB-уравнения

В ряде случаев целесообразно систему (1.119) свести к системе более низкого порядка. Подставив X" из первого уравнения системы (1.119) во второе, получим

или

(1.121)

где

(1.122)

Квадратичная матрица l-го порядка W' является обобщенным параметром схемы, отображающим как свойства компонентов, так и способ их соединения. В соответствии с (1.87) и (1.119) ее можно представить в виде

(1.123)

Вектор Q' является обобщенным параметром, характеризующим воздействие на схему задающих источников. В соответствии с (1.87) и (1.119) он выражается следующим образом:

(1.124)

Обычно число задающих источников сравнительно небольшое и векторы J_в и Е_в содержат много нулевых составляющих. Удалив все нулевые составляющие из векторов J_в и E_в и оставив в матрицах П_у и Р_z только те столбцы, которые соответствуют ветвям с независимыми источниками, задающий вектор Q' можно представить в виде

(1.125)

где П_J и Р_Е — соответственно матрицы сечений и контуров для ветвей с независимыми источниками; J_и и Е_и — векторы задающих токов и напряжений этих ветвей.

Выражение (1.125) может оказаться более удобным, чем (1.124), так как входящие в него субматрицы и субвекторы имеют меньшие размеры.

Нетрудно заметить, что первые v составляющих век-тори Q', определяемые субвектором — П_JJ_и, представляют собой алгебраические суммы задающих токов веткой, инцидентных соответствующим сечениям. Это следует из того, что каждая составляющая субвектора — П_JJ_и получается умножением соответствующей строки матрицы П_J, определяющей инцидентность ветвей с независимыми источниками тока данному сечению, на вектор задающих токов. Знак минус указывает, что задающий ток следует считать положительным, если он направлен противоположно сечению,

Аналогично, последние σ составляющих вектора Q', определяемые субвектором — Р_еЕ_и, представляющих собой алгебраические суммы задающих напряжений ветвей, инцидентных соответствующим контурам. Так как положительное направление напряжений выбрано противоположным направлениям ветвей, то задающие напряжения принимают положительными, если они совпадают с направлением соответствующего контура.

Приведенные соотношения служат для получения матрицы схемы W' и задающего вектора Q' по заданным уравнениям (или параметрам) компонентов и способу их соединения в схеме. Определив из (1.121) вектор X', можно найти (если это требуется) вектор X", включающий остальные токи и напряжения. Таким образом, задача сводится к решению l скалярных уравнений, т. е. число переменных сокращается вдвое по сравнению с их числом в исходной системе.

Матричное уравнение (1.121) соответствует l скалярным уравнениям, каждое из которых представляет собой узловое или контурное уравнение (v + σ = l). Вектор X', который называют искомым вектором, в качестве составляющих содержит напряжения y-ветвей и токи z-ветвей (l_y + l_z=l). Таким образом, уравнение (1.121) является координатным для ветвей и отображает схему в /-мерном пространстве. Это уравнение будем называть КВ-уравнением (или уравнением типа KB).

КК-уравнения

Составляющими вектора X' в уравнении (1.121). являются токи и напряжения ветвей, т. е. искомые переменные связаны с ветвями графа схемы. Это уравнение можно преобразовать к такому виду, что переменными будут узловые напряжения и контурные токи, непосредственно связанные с выбранной системой координат (совокупностью независимых сечений и контуров). В результате получим координатное уравнение для координат, которое будем называть КК-уравнением (или уравнением типа КК).

В соответствии с (1.107) и (1.111)

(1.126)

где U — вектор узловых напряжений; I — вектор контурных токов.

Поэтому

(1.127)

т. е. матрица осуществляет преобразование от вектора X' к новому вектору X, выбранному через v узловых напряжений и а контурных токов:

(1.128)

Поскольку матрица Θ — квадратная l-го порядка, то при таком преобразовании число переменных не изменяется и остается по-прежнему равным числу ветвей. Подставляя значение X' из (1.127) в (1.121), получаем

т. е. приходим к уравнению

(1.129)

где в соответствии с (1.122)

(1.130)

Выражение для матрицы схемы W можно также представить в виде

(1.131)

где

(1.132)

На основании соотношений (1.115) получаем

откуда после перемножения матриц следуют зависимости:

(1.133)

Поэтому выражение (1.132) для матрицы Θ₀ можно записать следующим образом:

(1.134)

и поскольку Θ₀= –Θ^t₀, то матрица Θ₀ является кососимметричной [23], причем в соответствии с (1.133)

(1.135)

Подставляя в (1.131) выражения (1.87), (1.119) и (1.134) для компонентных и топологических матриц, получаем

(1.136)

Если компоненты схемы удовлетворяют условиям обратимости, т. е. Y_В и Z_В— симметричные матрицы и М = –N^t, то субматрицы Y_y и Z_z являются симметричными и

Действительно, при транспонировании субматрицы Y_у = П_уY_ВП^t_у и Z_z=P_zZ_ВP^t_z не изменяются, так как Y_В = = Y^t_В и Z_В=Z^t_В (по условию симметрии), следовательно, Y_y=Y^t_y и Z_z=Z^t_г. Транспонируя выражение К_z = Р_zМП^t_у–θ^t и подставляя M = –N^t, получаем

откуда непосредственно следуют выражения (1.137).

Определив из уравнения (1.129) вектор X, а значит, и векторы узловых напряжений U и контурных токов I, можно найти значения токов и напряжений ветвей по формулам (1.107) и (1.111). Следствием этих формул являются выражения

(1.138)

откуда

(1.139)

Выражения (1.127) и (1.139) можно использовать для определения векторов X' и X" по найденному вектору X.

ВК-уравнения

Полученные два типа уравнений схемы (1.121) и (1.129) можно назвать координатными в том смысле, что они представляют собой уравнения для токов и напряжений относительно выбранной системы координат. Первые v скалярных уравнений отражают равновесие токов сечений (уравнения сечений или узловые уравнения), а последние σ уравнений — равновесие напряжений контуров (уравнения контуров или контурные уравнения).

Можно получить еще одну форму уравнений, которая соответствует уравнениям ветвей, причем переменными являются узловые напряжения или контурные токи. Будем называть их ВК-уравнениями (или уравнениями типа ВК).

Подставив из (1.127) и (1.139) значения векторов X' и X" в компонентное уравнение, получим

откуда после элементарных преобразований имеем

(1.140)

Таким образом, приходим к уравнению схемы в виде

(1.141)

где

(1.142)

Уравнение (1.141) соответствует I скалярным уравнениям, причем первые 1_у уравнений являются уравнениями у-ветвей, а последние l_z уравнений — уравнениями z-ветвей. Вектор X содержит в качестве составляющих узловые напряжения и контурные токи и определяется выражением (1.128).

Заметим, что от уравнения (1.140), умножив его слева на в, можно непосредственно перейти к уравнению (1.129), т.е.

Правые части уравнений совпадают, а левые отличаются только вторым слагаемым в скобках. Однако легко показать, что

(1.143)

Действительно, подставив значения векторов X' и X" из (1.127) и (1.139) в уравнение (1.118), получим

откуда непосредственно следует соотношение (1.143). В частности, оно является следствием кососимметричности матрицы Θ₀.