3. Примеры решения задач

Задача 3.1. Определить тип решетки Бравэ ромбического кристалла, в элементарной ячейке которого содержится четыре атома двух сортов с координатами: атомы А – 1/2, 0, 0 и 0, 1/2, 1/2; атомы В – 0, 0, 1/2 и 1/2, 1/2, 0.

Решение

Оба атома А, так же как и атомы В, связаны между собой одним и тем же вектором переноса ( ). Это означает наличие объемно-центрированной решетки I.

Задача 3.2. Определить тип решетки Бравэ кубического кристалла, имеющего проекцию элементарной ячейки в соответствии с рис.3.1.

Рис.3.1. К задаче 3.2

Решение

Зафиксируем атом В, находящийся в начале координат. Из рисунка видно, что такой же атом находится в точке с координатами ½, ½, ½ . Аналогично, каждому атому А соответствует эквивалентный атом, полученный сдвигом на вектор ½, ½, ½. В итоге имеем объемно-центрированную решетку I.

Задача 3.3. Найдите результат совместного действия двух операций симметрии: отражения в плоскости и трансляции

а) вдоль плоскости, б) перпендикулярно плоскости.

Решение

а) При взаимодействии плоскости отражения с трансляцией возникает плоскость скользящего отражения.

б) При взаимодействии плоскости отражения с трансляцией на середине трансляции появляется плоскость отражения.

Задача 3.4. Найдите симметрию позиции атома в структуре α − Fe (α − Fe – атомы в вершинах и в центре кубической ячейки). Как изменится симметрия этой позиции при деформации кристалла вдоль осей вращения: а) 4, б) 3, в) 2?

Решение.

Симметрия позиции атома - комплекс макроэлементов симметрии, фиксирующих эту позицию, т.е. не размножающих его. Таким комплексом симметрии служит одна из 32 точечных групп, являющаяся подгруппой данной пространственной группы.

Ячейка α -Fe приведена на рис.3.2. Четыре оси 3 проходят по телесным диагоналям ячейки. Три оси 4 – через центры противоположных граней, шесть осей 2 – через середины противоположных ребер. На рисунке приведены только по одной оси 2, 3, 4.

Рис. 3.2. К задаче 3.4.: - положение атомов Fe; - ось 2; - ось 3; - ось 4

а) При деформации вдоль оси 4, направленной по параллельно с, параметры ячейки будут иметь значения a = b  с, α = β = γ = 90⁰ , то есть ячейка станет тетрагональной. Кубическая координация каждого атома преобразуется в тетрагональную, то есть каждый атом Fe будет находиться в центре прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием.

б) При деформации вдоль оси 3. Кубическая ячейка деформируется в ромбоэдрическую. Этот полиэдр станет координационным для каждого атома Fe. Кристалл станет тригональным.

в) При деформации вдоль оси 2 ячейка станет моноклинной с тремя одинаковыми линейными параметрами a = b = c , α = γ = 90⁰  β. Этот параллелограмм будет координировать атомы Fe.