2.3.Теоремы о сочетании элементов симметрии структур

Ранее было показано, что сочетание двух элементов симметрии конечных фигур всегда порождает третий элемент сим­метрии. Полный набор элементов сим­метрии конечной фигуры составляет одну из 32 точечных групп симметрии, или классов симметрии.

При сочетании элементов симметрии бесконечных структур точно так же два элемента симметрии (порождаю­щие) приводят к появлению третьего элемента симметрии (порожденного). Полный набор элементов симметрии структуры составляет пространствен­ную, или Федоровскую, группу симмет­рии.

Всего имеется 230 пространствен­ных групп симметрии. Они выводятся на основании теорем о сочетании опе­раций симметрии структур. Ниже на конкретных примерах рассматривают­ся некоторые из этих теорем.

Теорема 1. Последовательное отражение в двух параллельных плоскос­тях симметрии равносильно трансляции на параметр t = 2a, где а — рас­стояние между плоскостями.

Теорема 1а (обратная). Любую трансляцию можно заменить отраже­нием в двух параллельных плоскостях, отстоящих друг от друга на расстоянии a = t/2, где t — параметр трансляции.

Доказательство обеих теорем пояс­няет рис. 2.11. Здесь I и II — плоскости симметрии, нормальные к плоскости чертежа; АО = ОВ, ВР = РС, т. е. AC=2a = t. Таким образом, фигурку С можно получить либо последователь­ным отражением в плоскостях I и II (А  В  С), либо трансляцией АС = 2а.

Теорема 2. Плоскость симметрии и перпендикулярная ей трансляция с параметром t порождают новые встав­ленные плоскости симметрии, парал­лельные порождающей, аналогичные ей по типу и отстоящие от нее на рас­стоянии t/2.

Даны плоскость симметрии I и пер­пендикулярная ей трансляция t (рис. 2.12, а). Повторение плоскости I с по­мощью трансляции дает плоскость III и еще бесконечный ряд плоскостей сим­метрии, параллельных плоскости I и отстоящих друг от друга на расстояниях t. Отражение в плоскости I переводит фигурку из положения А в положение В (А  B), а трансляция t переводит АA', В  В'. Но, как видно из рис.2.12, а, фигурки В' и А, так же как А' и В, зеркально равны, т. е. между Можно доказать эту теорему и дру­гим способом, полезным для дальней­шего.

	а)	б)	в)
Рис. 2.11. К теоремам 1 и 1а	Рис. 2.12. К теореме 2 для случаев: а – зеркальной плоскости m; б – плоскости скользящего отражения а; в – плоскости скользящего отражения с

Заменим согласно теореме 1 транс­ляцию t отражением в двух параллель­ных плоскостях I и II на расстоянии t/2; иначе говоря, «отражение I+трансляция» заменим на «отражение I + отражение I + отражение II». Но два отражения в одной и той же плос­кости «отражение I + отражение I» возвращают фигурку в исходное поло­жение, т. е. в сумме равны нулю. По­этому «отражение I + t» = «отражение I + отражение I + отражение II» = отражение II, т. е. в итоге этих преобразований появляется «вставлен­ная» плоскость симметрии II.

Применим теперь теорему 2 для слу­чая плоскости скользящего отражения. Даны (рис. 2.12,б): перпендикулярная плоскости чертежа плоскость скользя­щего отражения I типа а с транс­ляцией в направлении оси X и трансля­ции t вдоль оси Y, которая повторяет плоскость I в положении III и далее в бесконечном ряду параллельных плос­костей скользящего отражения.

Фигурки А, В, С связаны между со­бой плоскостью скользящего отраже­ния I типа а, фигурки А', В', С' — плоскостью III тоже типа а. Фигурки А и А', В и В', С и С' связаны между со­бой еще и трансляциями t. Но, кро­ме того, фигурки А', В, С', а также А, В', С связаны друг с другом новой пло­скостью скользящего отражения II та­кого же типа а. Таким образом, две параллельные плоскости скользящего отражения порождают вставленную между ними такую же плоскость скользящего отражения.

Основной трудностью при изучении симметрии кристаллов является не­обходимость пространственного пред­ставления структур и симметричных преобразований. Поэтому, подчеркнем сейчас, эту теорему необходимо ясно представлять себе не только на плоскости чертежа, но и в пространстве.

На рис. 2.12,в плоскость скользящего отражения I типа с перпендикулярна плоскости чертежа, а трансляция t в этой плоскости направлена вдоль оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Фигурка В, полученная из фигурки А преобразованием в плоскости I, нахо­дится не в плоскости чертежа, а над этой плоскостью на расстоянии, равном 1/2 периода трансляции вдоль оси Z. Это условно обозначается числом 1/2, написанным около фигурки. Добавле­ние к плоскости I перпендикулярной трансляции t в плоскости чертежа дает симметричные фигурки A и A', В и В'. Нетрудно видеть, что фигурки В и A', A и В' связаны между собой также и отражением в порожденной плоскости скользящего отражения II типа с, появляющейся между плоскостями I и III. Трансляция в этой плоскости так­же направлена по оси Z. Отражения в плоскости скользящего отражения да­дут, очевидно, фигурки в плоскостях, расположенных над плоскостью черте­жа на расстоянии 1, 3/2, 2, 5/2 и т. д., а также под плоскостью чертежа (-1/2, - 1,..), но их не обозначают.

Поскольку элементарная ячейка пространственной решетки всегда по­строена на тройке основных трансля­ций а, b, с, то из теоремы 2 следует, что если вдоль стороны прямоугольной примитивной элементарной ячейки про­ходит плоскость симметрии (порожда­ющая), то через середины сторон ячей­ки обязательно пройдет порожденная плоскость симметрии того же типа (табл. 2.3).

Таблица 2.3

Порождающая плоскость XOZ	Тип ячейки	Трансляция	Порождающие и порожденные плоскости
m	P	a, b, c
a	P	a, b, c
m	C
c	C
m	A
m	F	, ,
a	F	, ,
m	I
a	I

Плоскости симметрии, проходящие вдоль сторон непрямоугольных и непри­митивных элементарных ячеек, также дадут порожденные плоскости симмет­рии согласно следующей теореме:

Теорема 3. Плоскость симметрии т и трансляция t, составляющая с плос­костью угол α, порождают плоскость скользящего отражения, параллельную порождающей плоскости и отстоя­щую от нее в сторону трансляции на ½ . Величина скольжения вдоль порожденной плоскости равна .

Обратимся к двум предыдущим тео­ремам. Разложим трансляцию t, рас­положенную в плоскости чертежа, на компоненты и (рис. 2.13).

Рис. 2.13. К теореме 3

По теореме 1, трансляция по­рождает вставленную плоскость на рас­стоянии ½ , а трансляция эту плоскость делает плоскостью скользящего отражения; тип порож­денной плоскости зависит от того, на­ходится ли трансляция в плоскости чертежа или под углом к ней.

Теорема 4. Отражение в двух пере­секающихся плоскостях симметрии можно заменить вращением вокруг оси симметрии, совпадающей с линией пересечения этих плоскостей, а угол пово­рота вокруг этой оси равен удвоенному углу между плоскостями (рис.2.14).

а)	б)	в)	г)	д)
Рис. 2.14. К теореме 4

Теорема 4а (обратная). Ось симметрии, простую или винтовую, можно заменить парой плоскостей симметрии, простых или скользящего отражения, пересекающихся под углом, соответствующим порядку оси.

Теорема 5. Трансляция, перпендикулярная оси симметрии, порождает такую же ось симметрии, параллельную порождающей и смещенную на t/2 в направлении трансляции (рис.2.15).

а)	б)
Рис. 2.15. К теореме 5