14 Решеток Бравэ

Сингония	Решетка Браве
	Примитивная (P)	Базоцентрированная (c)	Объемно­центрированная (I)	Гранецентри­рованная (F)
Триклинная	P1
Моноклинная	P2/m	C2/m
Ромбическая	Pmmm	Cmmm	Immm	Fmmm
Ромбоэдрическая (Тригональная)	R m
Тетрагональная	P4/mmm		I4/mmm
Гексагональная	P6/mmm
Кубическая	Pm3m		Im3m	Fm3m

В структуре кристалла решетки Бравэ могут быть вставлены одна в другую, а в узлах различных решеток могут стоять как одинаковые, так и различные атомы, как сферически-симметричные, так и имеющие реальную кристаллографическую симметрию.

Все возможные сочетания элементов симметрии 32 кристаллографических точечных групп и 14 решеток Бравэ (которые в свою очередь возникают при комбинации семи кристаллографических сингоний и различных типов ячеек) приводят к появлению 230 пространственных групп симметрии.

2.2. Элементы симметрии кристаллических структур

В кристаллической структуре и характеризующей ее пространственной решетки наблюдаются элементы симметрии, используемые при описании симметрии конечных фигур и, в частности, внешней формы кристаллов: зеркальные плоскости, поворотные и инверсионные оси и центр инверсии.

Присутствие в структуре трансляций не оставляет ни одну точку кристаллического пространства (а соответственно, и ни один элемент симметрии) в единственном числе, а многократно повторяет их (транслирует) в определенных направлениях, создавая таким образом серии одинаковых элементов симметрии. Кроме того, трансляции взаимодействуют с элементами симметрии конечных фигур (плоскости зеркального отражения, поворотные оси, центр симметрии), в результате чего образуются специфические для трехмерного бесконечного кристаллического пространства трансляционные элементы симметрии: винтовые оси и плоскости скользящего отражения.

Плоскостью скользящего отражения называется совокупность совместно действующих плоскости симметрии и параллельной ей переноса (трансляции) на величину, равную половине периода трансляции вдоль плоскости.

Действие плоскости скользящего отражения можно рассмотреть на примере узора шахматной доски (рис.2.2, а), считая узор бесконечно протяженным в плоскости чертежа.

а)	б)	в)
Рис.2.2. Плоскости симметрии m и плоскости скользящего отражения a, b: а – в узоре шахматной доски; б – в плоской сетке структуры NaCl; в – структура NaCl

Чтобы совме­стить белый квадрат 1 с аналогичным ему белым квадратом 2, нужно перенести квадрат 1 на место расположен­ного над ним темного квадрата и лишь затем отразить в плоскости b, перпен­дикулярной плоскости чертежа (или, наоборот, сначала отразить в плоско­сти b и затем перенести на b/2. При таком совместном переносе на b/2 и отражении в плоскости b не только квадрат 1 совместится с квадратом 2, но и квадрат 2 займет место квадра­та 3 и вообще весь бесконечно протя­женный шахматный узор совместится сам с собой. Аналогичные плоскости скользящего отражения с компонента­ми скольжения а/2 проходят и вдоль линии а. Вдоль линии m проходят обычные зеркальные плоскости сим­метрии: шахматный узор совмещается сам с собой весь целиком при отраже­нии в плоскостях без дополнительной трансляции. Число плоскостей a, b, m бесконечно (если считать шахматный узор бесконечным).

Такие же плоскости скользящего от­ражения можно найти в плоской сетке структуры NaCl (рис. 2.2,б); ион Na совместится с дру­гим ионом Na, если его отразить в плоскости скользящего отражения b и перенести вдоль плоскости на b/2 или если его отразить в плоскости а и пе­ренести вдоль нее на а/2. При таком преобразовании симметрично совме­стятся друг с другом и все остальные ионы Na, а также и все ионы Сl. На рис. 2.2,б показана лишь одна плоская сетка структуры NaCl. Рассматривая эту структуру в пространстве (рис. 2.2, в), надо представ­лять себе бесконечную последователь­ность таких же сеток, параллельных этой, над плоскостью чертежа и за ней. Тогда обнаруживается еще одна плоскость скользящего отражения — плоскость типа с: она перпендикуляр­на плоскости чертежа, и перенос в ней происходит на 1/2 периода трансляции с вдоль оси Z, нормальной к плоско­сти XY.

Плоскости скользящего отражения условно изображают пунктирными или штрих-пунктирными линиями и обо­значают символами а, b, с, когда скольжение направлено соответственно вдоль осей X, Y, Z и величина его со­ставляет а/2, b/2, с/2 соответственно вдоль осей X, Y, Z.

Примеры преобразований с помо­щью плоскостей скользящего отраже­ния показаны на рис. 2.3.

Рис.2.3. Действие плоскостей симметрии m и плоскостей скользящего отражения a, b, c, n, d

При отраже­нии в плоскости скользящего отраже­ния а, перпендикулярной плоскости чертежа, фигурка в виде запятой пе­ремещается в плоскости чертежа на половину длины трансляции а в на­правлении [100]. Так же происходит преобразование в плоскости b с той разницей, что перемещение происхо­дит на 1/2 длины трансляции b в на­правлении [010]. При отражении в плоскости с фигурка перемещается на половину длины трансляции с вдоль [001]. Чтобы показать, что фигурка расположена на высоте с/2 над пло­скостью чертежа, около нее пишут 1/2. При следующем отражении фигурка сместится еще на с/2 вдоль оси Z, это указывать уже не нужно, так как при изображении плоской сетки подразу­мевается, что аналогичные точки по­вторяются в параллельных плоскостях, отстоящих друг от друга на период трансляции.

Еще один тип плоскости скользяще­го отражения — плоскость типа п, или клиноплоскость, можно обнаружить, например, в объемно-центрированной кубической (ОЦК) решетке (рис. 2.4, а). Проекция ОЦК на грань куба показа­на на рис. 2.4, б: если атомы по верши­нам ячейки находятся в плоскости чертежа, то атом в центре находится над плоскостью чертежа на расстоя­нии с/2, т. е. на 1/2 трансляции вдоль оси Z. Это обозначено на чертеже значком 1/2. Атом в вершине ячейки можно совместить с атомом в центре, если осуществить одновременно отра­жение в плоскости п и скольжение в этой плоскости на (а + с)/2 или (b + с)/2.

а)	б)
Рис. 2.4. Объемно-центрированная кубическая ячейка (а) и ее проекция на плоскость (001) (б) (на проекции показаны плоскости скользящего отражения типа n в этой ячейке)

Плоскость п — это плоскость скользящего отражения, у которой компонента скольжения направлена по диагонали параллелограмма, постро­енного на элементарных трансляциях, лежащих в этой плоскости, и равна 1/2 длины этой диагонали. Например, для плоскости n-типа на рис. 2.4 вели­чина трансляции равна (b + с)/2.

Плоскости скользящего отражения типа d, или так называемые алмазные, характерны только для гранецентрированных решеток. Компоненты скольже­ния плоскостей d направлены вдоль плоскостей диагонали элементарного параллелограмма, расположенного в плоскости отражения, а величина пе­реноса составляет 1/4 длины диагона­ли: (а + b)/4, (а + с)/4, (b + с)/4.

Элементарная ячейка структуры ал­маза (рис. 2.5, а) - это гранецентрированная кубическая ячейка, внутри которой есть еще четыре атома - два на высоте 1/4 и два на высоте 3/4, при­чем высота здесь измеряется в долях параметра ячейки по оси с. Атомы размещаются в центрах октантов, на которые мысленно можно разбить куб, проведя плоскости через середины гра­ней параллельно координатным пло­скостям.

На рис. 2.5, б видно, что атом, находящийся в вершине куба, можно совместить с атомом в центре октанта, если отразить его в плоско­сти d и сместить на (b + с)/4.

а)	б)
Рис. 2.5. Элементарная ячейка структуры алмаза (а) и ее проекция на плоскость (001) (б). На чертеже показаны только две плоскости d; такие же плоскости, параллельные этим проходят через каждые ¼ параметра ячейки. Разными кружками обозначены одинаковые атомы, находящиеся: 1 – в вершинах ячейки, 2 – в центрах граней, 3 – в центрах пары квадрантов на высоте ¼, 4 – в центрах противоположной пары квадрантов на высоте ¾

Винтовой осью симметрии называ­ется совокупность оси симметрии и па­раллельного ей переноса, действующих совместно.

Различают правые и левые винтовые оси. В случае правой винтовой оси перемещение вдоль оси сопря­жено с вращением по часовой стрелке, а в случае левой — против часовой стрелки. Винтовая ось обозначается двумя цифрами, например 4₁. Боль­шая цифра указывает порядок оси. Частное от деления цифры, стоящей в индексе (1), на большую (4), т. е. 1/4, дает величину переноса вдоль оси, выраженную через элементарную трансляцию вдоль этой оси.

Винтовую ось симметрии тоже мож­но встретить в структуре алмаза. На­пример, на рис. 2.5,б атом в центре гра­ни (Z = 0) и близлежащие атомы на высотах 1/4, 1/2, 3/4 не могут совме­ститься друг с другом отражениями в плоскостях симметрии, но совместятся, если их поворачивать вокруг оси чет­вертого порядка и одновременно пере­двигать вдоль оси, как по винту, на 1/4 периода трансляции. Это винтовая ось 4₁.

На рис.2.6,а сопоставлено действие простой поворотной оси 2 и винтовой оси второго порядка 2₁ для частного случая, когда ось лежит в плоскости чертежа.

а)	б)
Рис. 2.6. Действие поворотной оси симметрии 2 и винтовой оси симметрии 21, расположенных: а – в плоскости чертежа; б – перпендикулярно плоскости чертежа

Действие винтовой оси 2₁ за­ключается в повороте на 180° с после­дующим переносом вдоль оси на вели­чину t/2, где t — элементарная тран­сляция вдоль оси. Другой величины переноса для винтовой оси второго порядка быть не может, поскольку при следующем переносе на 180°, т. е. при полном обороте, перемещение должно быть равно трансляции. Для винтовой оси второго порядка правые и левые повороты приводят к одному резуль­тату, т. е. правая 2₁ эквивалентна ле­вой 2₁, или, иначе говоря, ось 2₁ ней­тральна.

При повороте вокруг оси 2₁ перпен­дикулярной плоскости чертежа, фи­гурка не остается в плоскости чертежа, а смещается на 1/2 периода трансляции вдоль оси, что обозначено надписью 1/2 (рис.2.6,б).

Ось 2₁ очень легко спутать с плоскостью скользящего отражения. Различие между ни­ми можно понять, сравнив рис. 2.3,б и 2.6,а. При повороте на 180° вокруг оси 2₁ фигурка поворачивается по очереди черной или белой стороной наружу. При скользящем отражении в плоскости, перпендикулярной плоскости чер­тежа, к зрителю все время обращена одна и та же сторона фигурки — только черная или только белая.

Действие винтовых осей третьего порядка заключается в повороте на 120° и одновременном переносе на t/3 вдоль оси поворота (ось 3₁) или на 2t/3 (ось 3₂) вдоль оси трансляции (рис. 2.7). Поворот может быть по часовой стрелке или против нее; соответственно различают правые и левые винтовые оси 3₁.

Рис. 2.7. Действие поворотной оси симметрии 3 и винтовых осей симметрии 31 и 32

Эквивалентность левых и правых осей 3₁ и 3₂ видна на рис. 2.7: левая ось 3₂ переводит точку в такие же по­ложения, как и правая 3₁.

Для четверной винтовой оси воз­можны, очевидно, трансляции t/4, 2t/4, 3t/4 (рис. 2.8). Правая ось 4₁ эквива­лентна левой оси 4₃, так же как левая 4₁, - правой 4₃, а винтовая ось 4₂ нейт­ральна. Ось 4₂ является одновременно простой осью 2 (но не наоборот).

Рис. 2.8. Действие поворотной оси симметрии 4 и винтовых осей симметрии 41, 42 и 43

У винтовых осей шестого порядка могут быть трансляции t/6, 2t/6, 3t/6, 4t/6, 5t/6, соответственно правые и левые (рис. 2.9). Левая ось 6₁ равно­значна правой 6₅ и обратно, так же как левая 6₂ равнозначна правой 6₄ и обратно. Ось 6₃ является нейтральной, так как здесь правый и левый поворо­ты приводят к одинаковому результа­ту. Оси 6₂ и 6₄ являются одновременно простыми осями 2, а ось 6₃ есть од­новременно простая ось 3 (но не на­оборот!).

6	61	62	63	64	65
Рис. 2.9. Действие оси симметрии 6 и винтовых осей 61, 62, 63, 64 и 65

Эквивалентность соответствующих левых и правых винтовых осей позволяет при описании симметрии структур пользоваться только правыми или только левыми осями.

Заметим, что легко ошибиться и спутать ось 6₃ с инверсионной осью ; так же сход­ны оси 4₂ и .

Итак, в кристаллических структурах возможны следующие оси симметрии:

1 2 3 4 6

2₁ 3₁, 3₂ 4₁, 4₃, 6₁, 6₂

4₂ 6₃

На рис. 2.10 приведены международные обозначения элементов симметрии, наблюдающиеся в кристаллических структурах.

	Оси
Вертикальные	Горизонтальные	Наклонные
	Плоскости
Рис. 2.10. Международные обозначения элементов симметрии