26. Нецентрированный коэффициент детерминации регрессионной модели.

Коэффициент детерминации показывает долю дисперсии результативного признака x, объясняемую регрессией, в общей дисперсии y. Иными словами, долю влияния фактора на изменение результативного показателя.

Например, коэффициент детерминации равен 0,78. Это значит, что изменения результативного показателя на 78% объясняются изменениями уравнения регрессии или модель среднего качества.

Вариант коэффициента детерминации, который используют при оценивании регрессионной модели без константы (нецентрированный коэффициент детерминации):

(11)

27. F-тест качества спецификации парной регрессионной модели.

F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_выч и критического (табличного) F_крит значений F-критерия Фишера. F_выч определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы.

Коэффициент детерминации является случайной величиной (так как вычисляется по выборочным данным), и для оценки его статистической значимости, в соответствии со стандартной процедурой, следовало бы сравнить его вычисленное значение с табличным (критическим). Однако таблиц распределения коэффициента детерминации не существует, поэтому для проверки статистической гипотезы о значимости R² используется косвенный метод: вычисляется некоторая вспомогательная статистика с известным распределением; проверяется гипотеза ее статистической значимости; устанавливается взаимосвязь между вспомогательной статисткой и коэффициентом детерминации; на основании этой взаимосвязи делается вывод о статистической значимости коэффициента детерминации. Для составления вспомогательной статистики рассмотрим две случайные величины U и V. Статистика U имеет распределение х² (хи-квадрат)

(1)

так как случайная величина , как было показано выше, имеет стандартное нормальное распределение, а ее квадрат можно рассматривать как сумму квадратов стандартных нормальных величин, включающую только одно слагаемое.

В качестве второй вспомогательной статистики, имеющей распределение х² с параметром, равным числу степеней свободы n - 2, используется статистика вида:

(2)

Статистика F, как легко проверить, совпадает с квадратом f-статистики для параметра b:

=

и имеет распределение Фишера с параметрами v₁=1,v₂=n-2 (n— объем выборки):

(3)

Для проверки гипотезы Н₀:b = 0 статистика (3) принимает вид:

.

Связь между статистиками F и R²для случая парной регрессии (k=2) имеет вид:

F= (4)

Справедливость (4) проверяется непосредственно:

(5)

Таким образом, как следует из формулы (5), F = 0 в том случае, если R²=0. Поэтому, проверяя значимость F статистики (сравнивая ее вычисленное по выборочным данным значение с табличным), мы можем проверить статистическую значимость коэффициента детерминации. ЕслиF_выч<F_кр, то принимается нулевая гипотеза H₀:b = 0 и, следовательно, коэффициент детерминации незначим, в противном случае нулевая гипотеза отвергается и коэффициент детерминации признается статистически значимым.

28. Спецификация множественной линейной регрессионной модели.

k-число параметров модели

X_j – j-й регрессор, j=1,…,k

Y-эндогенная переменная

β_j – j-й параметр модели j=1,…,k

ε – случайное возмущение

Матричная форма:

Y=βX+ε

Y = (Y₁, Y₂, …, Y_n) – вектор-столбец значений эндогенной переменной

X = – детерминированная матрица регрессоров полного ранга (rank(X)=k)

Через X₁ = (X_11, X_12,…, X_n1)^T = I обозначен единичный вектор-столбец, позволяющий включить в число регрессоров постоянный член и формализовать спецификацию модели со свободным членом и без него в единообразной форме.

β = (β_1, β_2,…, β_k)^T- вектор-столбец параметров модели

ε= (ε_1, ε_2,…, ε_n)^T – вектор-столбец случайных возмущений

Предпосылки Гаусса-Маркова относительно вектора случайных возмущений (не знаю точно, нужны или нет):

1. E(ε) = 0

2. C_εε = E(ε ε^T) = σ²*In

3. ε – N (0, σ²*In)

29. Оценка параметров множественной регрессионной модели методом наименьших квадратов.

Для построения МНК-оценки параметров множественной регрессии по выборочным данным используется следующий критерий отбора:

30. Основные числовые характеристики вектора оценок параметров классической множественной регрессионной модели.

1) Вектор математических ожиданий

МНК-оценки параметров множественной регрессии несмещенные

2) автоковариационная матрица вектора оценок параметров

31. Основные числовые характеристики вектора остатков в классической множественной регрессионной модели.

1) Математическое ожидание

E(e) = E(Mε) = M E(ε) = 0

2) Автоковариационная матрица

32. Основные числовые характеристики вектора возмущений в классической множественной регрессионной модели.

1) E {} = 0

2) = cov {,} =

33. Основные числовые характеристики вектора значений эндогенной переменной в классической множественной регрессионной модели.

1) E {Y} = E { }=

2) = cov {Y,Y} = cov { } = cov {,} = = =

34. Основные числовые характеристики вектора оценок значений эндогенной переменной в классической множественной регрессионной модели.

Математическое ожидание:

Автоковариационная матрица:

35. Основные числовые характеристики вектора прогнозов значений эндогенной переменной в классической множественной регрессионной модели.

Математическое ожидание:

Автоковариационная матрица:

36. Свойство несмещенности МНК- оценок параметров множественной регрессионной модели.

Спецификация:

Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно значению параметра.

37. Несмещённая оценка дисперсии возмущений модели множественной регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений модели множественной регрессии является оценка вида :

Доказательство несмещенности:

38. Доверительный интервал индивидуального значения зависимой переменной в множественной регрессионной модели.

Для определения границ доверительного интервала для отдельных индивидуальных значений зависимой переменной Y₁ необходимо построить дробь Стьюдента:

Числитель дроби представляет собой ошибку прогноза индивидуального значения эндогенной переменной , знаменатель дроби – оценка ско-оценки прогноза.

Далее необходимо вычислить оценку дисперсии ошибки e_p, которая на интервале оценивания определяется по формуле:

Границы для доверительного интервала индивидуальных значений зависимой переменной Y_t равны:

Определение критического значения t – статистики в Excel:

Функция Стьюдраспобр при уровне значисоти α=0,05 и число степеней свободы равно ячейке V₂