12. Теорема Гаусса - Маркова.

где , , t=1,…,n – выборочные данные (наблюдения), n –объем выборки (количество наблюдений)

• Пусть матрица Х детерминирована и имеет полный ранг.

• При выполнении условий Гаусса-Маркова МНК-оценки параметров относятся к классу оценок:

• Линейных по Y, несмещенных и с минимальной дисперсией.

Докажем линейность оценок:

спецификация модели в матричной форме:

оценка вектора значений эндогенной переменной в матричных обозначениях принимает вид:

запишем необходимые условия экстремума в матричном виде: или

отсюда следует линейность оценки параметров модели

Несмещенность. Оценка параметра называется несмещенной, если ее мат ожидание равно значению параметра:

Оценка параметра называется эффективной, если она удовлетворяет критерию , где – альтернативная оценка, полученная по выборке того же объема.

13. Оценка параметров парной регрессионной модели методом наименьших квадратов (мнк) в координатной форме.

Подставим вектор оценок параметров модели ( ) в выражение оценки

эндогенной переменной ( , получим:

где

• матрица линейного преобразования, матричный оператор, называемый проектором, в силу свойства идемпотентности (матрица N совпадает со своим квадратом: ):

Таким образом, элементы вектора оценок являются проекцией вектора наблюдений У на плоскость L, проходящую через векторы, яв­ляющиеся столбцами расширенной матрицы регрессоров: I =(l,...,l)^T и X. Вектор остатков е = У - , в соответствии с методом наименьших

квадратов, должен иметь наименьшую длину, так как критерий отбора (функционал качества) МНК, в матричной форме, есть не что иное, как квадрат нормы вектора остатков

• длина элемента евклидова пространства.

Длина будет наименьшей, если вектор е ортогонален плоскости L, т. с. ортогонален каждому вектору, принадлежащему данной плоскости, в частности, векторам / и X, а это означает, что скалярные произведения соответствующих векторов должны быть равны нулю, т. е.

Таким образом, мы снова получили необходимые условия экстре­мума — систему нормальных уравнений, в результате решения которой получаются МНК-оценки параметров модели, обеспечивающие мини­мальное значение функционалу качества.

14. Доказательство несмещенности МНК-оценки свободного члена в парной регрессионной модели.

Оценка свободного члена называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно значению свободного члена.

15.Доказательство несмещенности МНК-оценки параметра при регрессоре в парной регрессионной модели.

Оценка параметра при регрессоре называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно значению параметра при регрессоре.

16. Несмещённая оценка дисперсии возмущений модели парной регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является оценка вида .

Оценка s² = является несмещенной оценкой дисперсии возмущений , так как

17. Основные числовые характеристики вектора оценок параметров классической регрессионной модели.

=(X^TX)^-1X^TY=AY, где размерность А=(k,n)

Математическое ожидание E= =Axβ=I_k*β=β.

Автоковариационная матрица

Несмещенная оценка дисперсии возмущений: , где (n-k)число степеней свободы.

18. Доверительные интервалы параметров парной регрессионной модели.

Дробь Стьюдента – нормированная ошибка оценки

Параметр распределения Стьюдента – число степеней свободы.

Доверительная вероятность

– уровень значимости

Функция Стьюдраспобр при уровне значисоти α=0,05 и число степеней свободы равно ячейке V₂

19. Алгоритм построения интервальных оценок параметров регрессионной модели в Excel.

Алгоритм построения доверительных интервалов параметров модели имеет следующую последовательность:

1. оценка параметров модели по выборочным данным производится с помощью функции ЛИНЕЙН при параметрах :Константа =1 (=0, если нет свободного члена), статистика =1(всегда). Эти вычисления будут равноценным вычислениям по формулам ; .

2. оценка значений эндогенной переменной и вычисление остатков регрессии: основываясь на данных, полученных с помощью функции линейн подставляем и рассчитываем ; , t=1,…,n;

3. оценка дисперсии возмущений, так же получается при применении функции ЛИНЕЙН (в таблице EXCEL находится под данными ско оценки первого регрессора (константы при единичном регрессоре)):данные равносильны вычисляемым по формуле ;

4. оценка дисперсии коэффициентов, так же выводится в функции ЛИНЕЙН под оценками параметров модели. Равносильно квадратному корню из: ;

5. выбор критического (табличного значения) статистики tkp(n - 2) Критическое значение t^ статистики Стьюдента можно определить в Excel, в категории «Статистические», при помощи функции «Стьюдраспобр». Параметры функции: вероятность (уровень значимости), число степеней свободы (для парной регрессии n - 2).;

6. вычисление границ доверительных интервалов параметров модели по формулам

;