2.2. Расчет сопротивления интегрального резистора

Основной особенностью резисторов интегральных схем является малость толщины этих элементов в сравнении с остальными геометрическими размерами. Это позволяет рассматривать интегральные резисторы, как двумерную конструкцию и использовать для расчета двумерную модель, содержащую такой параметр резистивного материала, как сопротивление квадрата площади резистивного слоя  [4].

Используем следующую численную модель [5]. К контактам резистора K1 и K2 (рис. 6) приложим напряжение U и вычислим ток I, протекающий через резистор. Сопротивление резистора можно вычислить из закона Ома для участка цепи: R = U/I.

Рис. 6. Топология интегрального резистора

Пусть L – замкнутый контур, окружающий контакт. Тогда ток через контакт

, (21)

где – плотность тока, которую в соответствии с дифференциальным законом Ома определим как

21

. (22)

Здесь – напряженность электрического поля,  – удельная поверхностная проводимость ( = 1/),  – электростатический потенциал.

Чтобы вычислить ток на выводах резистора в соответствии с формулами (21), (22), необходимо, прежде всего, рассчитать распределение электростатического потенциала. Запишем краевую задачу для расчета . Для произвольного замкнутого контура , не охватывающего точек контакта и не имеющего общих границ с контактом, в соответствии с законом сохранения заряда в стационарном случае имеем

. (23)

Интегральное тождество (23) справедливо для всех точек области резистора. На границе области резистора привлекаются следующие граничные условия: на контактах К1 и К2 электростатический потенциал считается заданным; в остальных точках границы нормальная составляющая тока полагается равной нулю.

Таким образом, здесь мы имеем задачу подобную той, которая рассматривалась нами в п. 2.1. При ее решении будем использовать такой же подход. До сих пор предполагалось, что область резистора является однородной. Если в области резистора есть участки материала, удельное сопротивление которых отличается от сопротивления остальной части резистора (см., к примеру, заштрихованный прямоугольник на рис. 6), то в этом случае следует применить аппроксимацию интегрального тождества с усредненной на ячейке алгебраизации проводимостью.

При вычислении тока численно рассчитывается производная от  по пространственным координатам. В связи с этим требование к точности решения разностной СЛАУ здесь накладывается более жестким. Метод ПВР в этом случае оказывается неприемлемым, так как не может обеспечить высокую точность. Необходимо формировать матрицу СЛАУ, вектор свободных членов и использовать функцию LinearSolve, которая в пакете Mathematica реализует прямой метод.

Задание: рассчитать сопротивление резистора, конструкция которого приведена на рисунке 6. Размеры контакта – (2  4) мкм, размеры приконтактного участка – (6  8) мкм. Центры этих областей совпадают. Контакты расположены симметрично относительно тех участков резистора, к которым они примыкают. Зазоры между областью с повышенным удельным сопротивлением и краями резистора одинаковы. Остальные параметры резистора приведены в таблице 2 (размеры даны в мкм, сопротивления квадрата площади – в Ом/кв).

22

Таблица 2

№ варианта	L1	L2	L3	H1	H2	H3	1	2
1	15	26	-	7	3	-	100	100
2	13	42	-	5	4	-	100	100
3	16	25	-	4	5	-	230	230
4	24	12	-	7	6	-	230	230
5	18	27	9	6	7	5	250	520
6	32	23	14	6	7	4	250	520
7	26	15	10	5	6	2	320	680
8	35	24	28	5	6	3	320	680
9	19	13	8	6	5	2	430	960
10	14	25	6	7	5	2	430	960

В таблице использованы следующие обозначения: L1 – длина отрезка AB, L2 – длина отрезка EF, L3 – длина отрезка CD, H1 – ширина горизонтального участка резистора, H2 – ширина вертикального участка резистора, H3 – ширина высокоомной вставки, 1 – удельное сопротивление основной части резистора, 2 – удельное сопротивление высокоомной вставки. Если 1 = 2, это означает, что высокоомной вставки нет.