БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ РАДИОФИЗИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра информатики

С.Г. Мулярчик, И.М. Шевкун

МЕТОДЫ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО

ЭКСПЕРИМЕТА

Лабораторный практикум

МИНСК

2005

УДК 519.67-37(075.8)

ББК 32.19я73

М90

Рекомендовано Ученым советом

факультета радиофизики и электроники

25 Октября 2005 г., протокол № 2

Рецензент

кандидат физико-математических наук,

доцент Ю.И. Воротницкий

Мулярчик С.Г.

М90 Методы вычислительного эксперимента : лабораторный практи-

кум для студентов фак. радиофизики и электроники /

С.Г. Мулярчик, И. М. Шевкун. – Мн.: БГУ, 2005 – 34 с.

Приведено описание четырех лабораторных работ, каждая из которых требует численного решения соответствующей краевой задачи. Решение выполняется с использованием СКМ Mathematica.

Для студентов специальности 1-31.04.03 «Физическая электроника».

УДК 621.396.6(076.5)

ББК 32.884р.я73

© Мулярчик С.Г., Шевкун И.М., 2005

© БГУ, 2005

Предисловие

Вычислительные эксперименты в электронике часто предполагают постановку и решение задач переноса заряда, энергии, массы, тепла. Математическая постановка таких задач – краевые задачи для уравнений в частных производных эллиптического, параболического и гиперболического типов, определенных в областях сложной формы.

В лабораторном практикуме на конкретных задачах электроники изучаются численные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных первых двух типов.

Каждая лабораторная работа предполагает построение математической модели, ее конечно-разностную аппроксимацию, разработку вычислительного алгоритма и его программную реализацию.

В качестве среды программирования в лабораторном практикуме используется проблемно-ориентированный пакет Mathematica.

Перечень лабораторных работ:

1. Изучение пакета Mathematica;

2. Расчет температурного поля в двумерной области (стационарный случай);

3. Расчет сопротивления интегрального резистора;

4. Расчет емкости металлизации интегральных схем;

5. Расчет температурного поля в двумерной области (нестационарный случай).

Принята следующая схема прохождения лабораторного практикума. Первая работа проводится в компьютерном классе. В процессе ее выполнения изучаются возможности пакета Mathematica для решения краевых задач. По каждой последующей работе сначала проводится теоретическое занятие в аудитории (3 часа), на котором разбираются методы и строятся алгоритмы решения задачи, формулируются индивидуальные задания. Реализация программы вычислительного эксперимента в среде Mathematica, ее отладка и проведение экспериментов осуществляются в классе персональных компьютеров в течение двух занятий по 6 часов каждое.

1. Система компьютерной математики

1.1. Основные принципы работы системы

Система компьютерной математики (СКМ) Mathematica является продуктом компании Wolfram Research, Inc. Она интегрирует в себе современный интерфейс пользователя, аналитические и численные методы решения большого числа математических задач, мощные графические средства [1].

В основе этой СКМ лежат символьные (аналитические) вычисления. При символьных операциях задания на вычисление составляются в виде символьных (формульных) выражений и результаты вычислений также получаются в символьном виде. Численные результаты при этом являются лишь частным случаем символьных.

Выражения, представленные в символьном виде, отличаются высокой степенью общности. Например, тождество справедливо при любых значениях аргумента х. Если результат символьной операции равен, к примеру, sin (1), то он и будет выведен как sin(l). Конкретное вещественное число, приближенно представляющее или аппроксимирующее sin(l), вычисляться не будет, ибо носит частный характер.

Арифметические операции выполняются с максимальной точностью. При работе с целыми и рациональными числами вообще не происходит потеря точности (например, вычисляются все знаки 100!). Без дополнительных указаний не будет раскрываться , т. к. в первую очередь это не 1,4142…, а число, которое при возведении в квадрат дает 2. При проведении расчетов с плавающей точкой можно указать точность вычислений.

Для записи математических выражений используются как операторы входного языка СКМ (+, -, *), так и функции. При этом следует иметь в виду следующее:

- знак умножения (*) можно заменить пробелом (a*x эквивалентно a x, но ax – новая переменная);

- встроенные функции начинаются с большой буквы и обычно повторяют свое общепринятое математическое обозначение (например, Sin, Cos, но функция интегрирования – Integrate);

- круглые скобки ( ) используются для выделения частей выражений и задания последовательности их вычисления;

- параметры функций задаются в квадратных скобках [ ];

- фигурные скобки { } используются при задании списков.

При записи сложных выражений или при разработке программ приходится вводить переменные. Их следует именовать строчными (малыми) буквами и цифрами. Специальные символы, в том числе и знак подчеркивания, использовать нельзя.

4

После запуска СКМ система выводит на экран пустой документ, имя которого “Untitled.nb” (расширение “.nb” присваивается всем рабочим файлам системы). В верхней части рабочего документа появляется горизонтальная линия – она всегда указывает место, в котором будет вводиться новое выражение. Если в этот момент набрать с клавиатуры 2+2, то на месте линии появится строка с этим выражением, внутри этой строки будет находиться также и текстовый курсор. Справа строка отмечается синей линией. Такая структура – одна или несколько строк с общей границей – в системе Mathematica называется ячейкой (Cell). Для вычисления выражения используется сочетание клавиш Shift+Enter. Первое вычисление (даже 2+2) занимает несколько секунд, т. к. системе требуется некоторое время для загрузки ядра (Kernel), последующие вычисления в течение данного сеанса будут производиться без задержки.

В результате выполнения вычислений в рабочем документе появляется еще одна ячейка – выходная. Для того, чтобы было легче отличить выходную ячейку от входной, в них используются шрифты с разным начертанием: ввод – полужирный шрифт, вывод – обычный. Ячейки попарно объединяются в группы, при этом справа появляется еще одна ограничивающая синяя линия. По завершении вычисления под группой ячеек снова появляется горизонтальная линия.

Для выполнения сложных расчетов приходится вводить промежуточные переменные и присваивать им некоторые значения с целью их дальнейшего использования. При выполнении подобных заданий СКМ выводит на экран все промежуточные результаты. Чтобы этого не происходило, в конце каждого выражения следует ставить символ ; (точка с запятой), что отменяет вывод результата на экран. Комментарий размещается внутри ограничителей (* *).