9.4. Магнит өpici индукциясының векторының циркуляция туралы теорема. Ток заңы.

Жіңішке шексіз ұзын токтың тудыратын магнит өpici индукциясының өрнегін пайдаланып, магнит өpici индукция векторынан тұйык контур бойымен алынған интегралдың неге тең екенін аныкталық

Интеграл алынатын контур ретінде жіңішке шексіз ұзын токты қамтитын кез келген тұйық L контурды алуға болады (9.4.1-сурет).

9.4.1-сурет

Токтан r кашықтықтағы контур нүктесінде алынған dl элементті екі құраушыға жіктеуге болады: бipi тоққа параллель dl, eкіншіci тоққа перпендикуляр болғандықтан, және . Осы катынастарды жэне (9.1.3.1.15) ернекп ескерсек,

(9.4.1)

Токты камтитын кез келген тұйық контур бойымен интеграл алған кезде бұрышы ылғида бip жакка карай айналады толық бip айналыс жасағанда бұрышының өзгepyi 2 -ге тең болады

Ендеше

(9.4.2)

Егер L контур бірнеше токты камтитын болса, суперпозиция принципін пайдаланып, (9.4.2) өрнектің орнына

екенін табамыз. Бұл өрнектің сол жағында L контурмен камтылатын токтардың алгебралық косындысы тұр. Оң ток ретінде контур бойымен интегралдау бағыты ток бағытымен оң бұранда ережесімен байланыскан токты алады, ал қарама-карсы бағыттағы токты тepic деп алу керек. Алынған контурмен камтылған токтардың алгебралық қосындысын ток тығыздықтары аркылы жазуға болады. Егер L контурға тірелген S бет алсак, бұл бет токтар жүріп тұрған өткізгіштермен беттер бойымен қиылысады. Олай болса,

(9.4.4)

Соңғы өрнектің оң жағын ток тығыздығының L контурға тірелген s бет бойымен алынған ағыны ретінде жазуға болады, ceбeбi ток жок жерлерде өткізгіштердің көлденең қималары S бетпен киылыспайтын жерлерде интеграл нөлге тең, яғни

(9.4.5)

Сондыктан

(9.4.6)

Егер L контур токты камтымайтын болса, , (9.4.2-сурет) себебі контур бойымен айнала интеграл алған кезде радиалдык, түзу бip жакка карай (1-2 бөлік), одан кейін екінші жаққа карай (2-1 бөлік) айналады. Біріншi бөлікті айналған кездегі бұрышының өзгеруі екінші бөлікті айналған кездегі бұрышының өзгеруі -ге шамасы жағынан тең, бipaқ таңбасы карама-карсы болады, яғни

Сонымен, магнит өpici индукциясы векторының циркуляциясы алынған контурмен камтылатын токтардың алгебралық қосындысы мен -дің көбейтіндісіне тең екен. Бұл тұжырым ток заңы деп аталады.

9.4.2-сурет

9.5. Ток занының дифференциалдық түpi. Магнит өрісінің құйындылығы. Векторлық потенциал. Көлем бойынша таралған токтар үшін ток заңын (9.4.6) түрінде жазуға болады

(9.5.1)

Бұл өрнектің сол жағына Стокс теоремасын қолдансақ,

(9.5.2)

болмаса

(9.5.3)

9.5.1-сурет

Соңғы теңдік L контурға тірелген кез келген S бет үшін орындалады, сондықтан интеграл астындағы өрнек нөлге тең болуы керек

(9.5.4)

Осы тендеуді ток заңының дифференциалдық түpi деп атайды. Электростатикалық өрістің потенциалдығы өpic кернеулігі циркуляциясының, болмаса оның роторының нөлге тендігімен анықталатынын білеміз . Ал магнит өpici индукциясы векторының циркуляциясы нөлден өзге , мұндай өрісті құйынды өpic деп атайды.

Магнит өрісінің тұйыктық шартын қанағаттандыру үшін

(9.5.5)

деп алса жеткілікті, ceбeбi кез келген вектор роторынан алынған дивергенция операторының нәтижесі нөлге тең

(9.5.6)

(9.5.5) тендікпен магнит өpici кез келген скаляр функцияның градиентіне дейінгі дәлдікпен аныкталған, ceбeбi А векторына скаляр функцияның градиенті косканнан өpic өзгермейді. Шынында

Сондықтан А -векторын өзіміздің қалауымызша алынған шартты қанағаттандыратындый етіп алуға болады. А -векторын di A = 0 теңдеуін канағаттандыратындай етіп алады. Бұл шартты Лоренц шарты деп атайды. Егер (9.5.5) өрнекті ток заңының дифференциалдық түріне (6.5.4) койсак

(9.5.7)

Соңғы формуладағы және Лоренц шарты бойынша, болғандықтан, (6.5.7) тендеуді төмендегідей түрге келтіруге болады

(9.5.8)

Бұл теңдеу үш скалярлық теңдеулерге пара-пар.

(9.5.9)

Соңғы тендеулердің әркайсысы Пуассон тендеуі болғандықтан, олардың шешімдері төмендегі функциялармен анықталады

(9.5.10)

Векторлык түрде

(9.5.11)

Сызықты токтар үшін

(9.5.12)

(9.5.11) өрнегіне және В = rotA катынасын пайдаланып, Био-Савар-Лаплас заңын сипаттайтын (9.24) өрнекті табуға болады. Ток заңының қолданылуы ретінде үш мысал карастыралық:

Магнетиктер деп сырткы магнит өpiciн өзгерте, болмаса өздігінен магнит өpiciн тудыра алатын ортаны айтады. Магнетиктер негізінен үш топқа: -диа, -пара, -ферро магнетиктерге бөлінеді. Диамагнетиктерге сырткы магнит өpici жок, кезінде атомдарының магниттік моменттері нөлге тең магнетиктер жатады. Парамагнетиктерге сырткы магнит өpici жок кезінде атомдарының(молекулаларының) магниттік моменттepi нөлге тең емес бipaқ физикалык, аз көлемінің магниттік моменті нөлге тең магнетиктер жатады. Ферромагнетиктерге сырткы магнит өpici жок кезінде де макроскопиялық облыстарының (домендерінің) магниттікмоменттepi нөлге тең емес, бipaқ қалыпты жағдайда тұтас магниттелген күйде болмайтын магнетиктер жатады.

Магнетиктердің магниттелуін сан жағынан сипаттау үшін магниттелгіштік деген шама ендіріледі.Бұл магниттелген магнетиктің физикалық аз көлеміндегі молекулалардың магниттік моменттерінің геометриялық (векторлық) осы көлемге катынасымен анықталады

(9.5.20)

мұндағы -физикалық аз көлемнің шамасы, Р -молекулалардың магниттік моменттері, косынды көлемге кіретін барлық молекулаларды камтиды. Баскаша айтканда, магниттелгіштік магнетиктің бірлік көлемінің магниттік моменті, яғни магнетиктің магниттік моментінің көлемдік тығыздығы. Олай болса, көлемнің магниттік моменті

(9.5.21)

Магнетиктердегі өpic. Магнит өрісінің кернеулігі. Сонымен магнетиктердегі магнит өpici өткізгіштік токтар тудыратын өpic В мен магнетиктердің магниттелуі кезінде пайда болатын молекулалық токтар тудыратын өрістің (В') косындысынан тұрады, яғни .

Қандай токтың болса да тудыратын магнит өpici күш сызықтарының тұйык болатындығынан

(9.5.22)

Олай болса, магнетиктердегі магнит өpici де тұйық бет бойымен алынған ағыны нөлге тең болады екен.

Магнетиктердің магниттік өтімділігі. Егер сырткы магниттеуші өpic онша үлкен болмаса, магниттелгіштік векторын өpic кернеулігіне пропорционал деп есептеуге болады

(9.5.23)

мұндағы - магниттелгіштік коэффициенті деп аталады. Осы өрнекті магнит өрісі индукциясы мен кернеулігін байланыстыратын (7.2.10) өрнекке қойсақ

,

болмаса

(9.5.24)

Магнит өpici векторлары үшін шекаралық шарттар. Магнит өpici векторларының екі магнетик шекарасындағы өзгеру зандылығын аныктау үшін электр өpici векторларының екі диэлектрик шекарасында өзгеруін анықтаған сиякты карастырамыз. Егер Гаусс теоремасының дифференциалдық түрін карастырған сиякты

(9.5.25)

өрнегіндегі интегралдау беті ретінде екі магнетик шекарасы кесіп өтетін физикалық аз көлемді цилиндрдің толык бетін алсак,

(9.5.26)

тендігін табамыз. Бip магнетиктен екінші магнетикке өткен кезде магнит өpici индукциясы векторының нормаль құраушысы узіліссіз өзгереді. Магнит өpici кернеулігінің тангенциал құраушысы үшін шекаралық шарттарды табу үшін ток заңының интегралдық түрін қарастырамыз

(9.5.27)

Интеграл алынатын тұйық L контур ретінде екі магнетик шекаралығын аныктайтын бетке перпендикуляр төртбұрыш тәpiздi контур аламыз. Электр өpici кернеулігінің тангенциал құраушысын қарастырғандай әдісті пайдаланып,

(9.5.28)

қатынасын табамыз. Мұндағы i екі магнетик шекарасындағы куш токтың тығыздығы. Бip магнетиктен екінші магнетикке магнит өpici кернеулігінің тангенциал құраушысы үзілісті өзгереді. Кернеуліктің секірме өзгерісінің шамасы магнетиктер шекарасындағы беттік токтың сызықтық тығыздығына тең.

Егер екі магнетик шекарасында беттік ток жоқ болса, i = О. Онда

(9.5.29)

Магниттік өтімділікті, магнетик ішіндегі магнит өpici индукциясын және кернеулігін өлшеу. Магнетик ішіндегі магнит өpici кернеулігі мен индукциясын өлшеу үшін шекаралық шарттарды және электромагниттік индукция құбылысын пайдалануға болады.

Магнит өpici тангенциал құраушысы бip ортадан екінші ортаға өткен кезде үзіліссіз өзгеретін болғандықтан . Каналдағы екенін ескерсек,

(9.5.30)

Өзектің ішінде көлденең жасалған саңылаудағы магнит өpici индукциясының нормаль құраушысы болғандыктан,

(9.5.31)

формуласын пайдаланып магниттік өтімділікті анықтауға болады.

Магниттік экрандалу. Егер магниттік өтімділігі магнетик шар магниттік өтімділігі ортадағы кернеулігі Н магнит өpiciнде орналаскан болса, шар магниттелген кезде пайда болатын магнит өpici сырткы өріспен косылады. Егер болса, шардағы корытқы магнит өpici кемиді, баскаша айтканда, шар өзінің ішкі облысын сырткы өрістен корғауға тырысады. Тұтас шардың орнына ішкі қуыс шар кабатын алсак және болса, магнит өpici күш сызықтары негізінен шар қабатында шоғырланады.

Магнит өрісіндегi күштер. Магнит өрісінде козғалыстағы зарядталған бөлшектерге күш әсер ететіні белгілі. Өткізгіштегі токтың зарядталған бөлшектердің бағытталған козғалысы екенін ескерсек тогы бар өткізгішке магнит өpici тарапынан күш әсер етуі керек. Тогы бар өткізгіштердің өзара әсерінде магниттік әсер арқылы, яғни бip тогы бар өткізгіш өзінің маңында магнит өpiciн тудырады осы өpic екінші тогы бар өткізгішке әсер етеді деп түсіндіруге болатынын білеміз. Магнит өpici тек өткізгіштің токтарға ғана емес, молекулалық токтарға да әсер етеді, олай болса, магнит өpici тарапынан магнетиктерге де күш әсер eтyi керек.

Лоренц күші. Тәжірибелердің негізінде индукциясы магнит өрісінде жылдамдыкпен козғалатын зарядка әсер ететін күш

(9.5.32)

формуласымен анықталатындығы табылған. Егер магнит өрісімен катар электр өpici бар болса (кернеулігі Ё), онда карастырып отырған зарядка әсер ететін күш

(9.5.33)

Бұл формуламен анықталатын күшті Лоренц күшi деп атайды.

Магнит өpici тарапынан тогы бар өткізгішке әсер ететін күш. Ампер күші. Токтардың өзара әсерін тәжірибе жүзінде жан-жа зерттей отырып, Ампер магнит өpici тарапынан тогы бар өткізгішке әсер ететін күшті есептейтін формула ұсынған. Сондыктан бұл күшті Ампер күші деп атайды.

, (9.5.34)

Негізгі әдебиет: [2] ; [4]; [5].

Қосымша әдебиет: [2]; [3].

Бақылау сұрақтары:

1. Ток элементтерінің өзара әсерлесу заңының өрістік интерпретациясы. Ампер тәжрибесі. Био-Савар-Лаплас-Ампер заңы.

2. Лоренц күші.

3. Толық токтың заңы. Магнит индукциясы векторының циркуляциясы туралы теорема.

4. Магнетиктердегі магнит өрісі. Магнетиктегі молекулалық токтар. Көлемдік және беттік токтар.

Дәріс 10. Тақырыбы: Магнетиктер.

Қарастырылатын сұрақтар:

Диа- және парамагнетиктер. Диа- және парамагнетиктердің магниттелу механизмдері. Лармор прецессиясы. Парамагниттік қабілеттіктің температураға тәуелділігі. Кюри заңы. Ферромагнетизм. Гистерезис тұзағы. Ферромагнетиктік қасиеттердің температураға тәуелділігі. Ферромагнетизм. Домендер. қайта магниттелу механизмдері. Гиромагниттік эффектілер. Атомдар мен электрондардың механикалық және магниттік моменттерінің арасындағы қатынастар. Эйншгейн-де Гааз және Барнетт эффектілері. Антиферромагнетизм және ферримагнетизм туралы түсініктер.

Дәріс мазмұны:

Магнетиктердің магниттелу механизмдері. Магнетиктердің магниттелу механизмдерін түсіну үшін алдымен атомдар мен молекулалардың магниттік және механикалық моменттерін және олармен байланысты магнитомеханикалық құбылыстарды қарастыралық.

1 0.1. Магнитомеханикалық құбылыстар. Атомдардың ядродан және оны айнала козғалып жүретін электрондардан тұратыны белгілі.Мысалы, cyтегi атомын алсақ, протонның маңында жалғыз электрон айналмалы қозғалыста болады. Сондықтан сутегі атомын элементар ток ретінде қарастырсақ, оның магниттік моменті (10.1-сурет)

(10.1)

мұндағы I-электронның айналмалы козғалысы

тудыратын токтың күші S -электрон орбитасының ауданы. 10.1-сурет

Ток күшінің шамасын электрон зарядының айналу периодына катынасымен анықтауға болады.

(10.2)

ал екенін ескерсек,

Электронның айналмалы козғалысына байланысты механикалык момент

(10.3)

және векторларының анықтамасы бойынша олардың бағыттары бip-бipінe карама-карсы болады, сондықтан

(10.4)

Бұл катынас гиромагнитік қатынас деп аталады.

Электронның орбиталдық козғалысы кезінде пайда болатын механикалық және магниттік моменттepi өзара байланысты болғандықтан тәжірибелерде магнитомеханикалык деп аталатын құбылыстар байкалады.Бұл құбылыстар бойынша магнетиктерді магниттеген кезде олар айналмалы козғалыска келеді, керісінше, айналмалы қозғалысқа келтірген кезде магниттеледі. Мұндай құбылыстарды тәжірибе жүзінде байкаған Эйнштейн мен де-Гааз және Барнетт деген окымыстылар болды.

Эйнштейн мен де-Гааз жіңішке ферромагниттік стерженді металл жіпке іліп, соленоидтың ішіне орналастырған. Соленоид аркылы жиілігі системаның механикалык, тербелістерінің меншікті жиілігіне тең айнымалы ток жібергенде, металл жіпке бекітілген кішкентай айнадан шағылыскан жарык сәуленің ауытқығаны байкалады (7.8.1.2-сурет). Бұл құбылысты былай түсіндіруге болады: ферромагнетик стерженді магниттеген кезде электрондардың орбитальдық магниттік моменттері өpic бағытымен, механикалық моменттері өpicкe кepi бағытталуы керек. Олай болса, электрондардың корытқы механикалык моменті , нөлден өзгеше болады (магниттелмей тұрғанда жеке орбиталдык моменттердің ретсіз бағытталғанынан =о). Импульс моментінің сакталу заңы бойынша, стержень мен электрондардан тұратын системаның толык механикалык моменті нөлге тең болуы керек, ендеше стержень- , механикалык момент алуға тиістi, яғни айналмалы козғалыска келуі керек. Эйнштейн мен де-Гааз

Тәжірибелер негізінде гидродинамикалық қатынастың тең екенін тапты. Бұл нәтиже орбиталдык козғалыска байланысты гиромагниттік катынастан екі есе артық.

Барнет ферромагнит стерженді өз осінен тез айналдырған кезде пайда болатын магниттелгіштікті өлшеу нәтижесінде гиромагниттік катынастың екенін көрсетті. Осы тәжірибелер нәтижесінің моменті электронның орбиталдык козғалысымен байланысты гиромагниттік қатынасымен дәл келмеуі электрондардың өзіне тән магниттік моменті бар болуға тиicтi деген корытынды тудырады. Электронның меншікті механикалық моментін спин деп атайды. Кейін электронның ғана емес, табиғатта кездесетін элементар бөлшектердің бәрінің де меншікті механикалык және магниттік моменттерінің болуы, оның заряды, массасы сияқты негізгі касиеттерінің бipi екендігіне көз жеткізілді. Электронның меншікті механикалық моменті , . Гиромагниттік қатынасқа сәйкес

(10.5)

Соңғы өрнекке сәйкес магниттік моментті әрпімен белгілеп, Бор магнетоны деп атайды Дж/Тесла. Атомның магниттік моменті оның электрондарының орбиталдық және меншікті магниттік моменттері мен ядроның магниттік моментінің косындысына тең, бipaқ ядроның моменті электрондар моменттерінен әлдекайда кіші болғандыктан, атомның толык магниттік моменті электрон­дардың магниттік моменттерінің векторлық косындысына тең деп есептелінеді.

Лармор прецессиясы. Сырткы магнит өрісіндe орналаскан атомның электронына магнит өpici тарапынан әсер ететін күш электрон орбитасын сырткы магнит өрісінe перпендикуляр бағытта айналмалы козғалыска келтіреді. Осы косымша айналмалы козғалысты лармор прецессиясы деп атайды. Егер орбита бойымен козғалып жүрген электронды элементар ток ретінде карастырсак, оның магниттік моменті

(10.6)

мұндағы -электронның ядро маңындағы айналмалы козғалысының бұрыштық жылдамдығы. Орбиталық козғалыстың механикалык моменті

(10.7)

Егер атомды гироскоп ретінде карастырсак, оның козғалыс тендеуі

(10.8)

мұндағы . Ендеше,

(10.9)

болмаса,

Диамагнетиктердің магниттелу механизмі және олардың магниттелу коэффициенті. Лармор прецессиясы кезінде пайда болатын косымша магниттік момент

(10.10)

Сырткы магнит өpiciнe карама-карсы бағытталған. Олай болса, магниттік момент тудыратын косымша магнит өpici де магниттеуші магнит өрісінe карама-карсы бағытталған. Сондыктан магниттелген диамагнетиктерде магнит өpici әлсірейді. Диамагнетизм барлык заттарда да байкалады.

Парамагнетиктердің магниттелу механизмдері және олардың магниттелу коэффициенті. Парамагнетиктердің атомдарының (молеку лаларыньщ) магниттік моменттері нөлден өзге. Парамагнетикті сыртқы магнит өpiciнe қойған кезде оның молекулаларының магниттік моменттері қосымша энергия алады.

(10.11)

Бұл формуладан қосымша энергияның шамасы Р және В векторларының арасындағы 90°-тан кем болғанда, аз мәндерін, ал = 0° болғанда, ең аз мәнін қабылдайды (W = -PB). Олай болса сыртқы магнит өpici бар кезде атомдардың магниттік моменттерінің бағыттары өpic бағытымен сүйір бұрыш жасайтын күй энергетикалық тұрғыдан қолайлы күй болады, ceбeбi бұл кезде толық энергия мүмкін болғанша аз мән қабылдайды. Мұндай күйде парамагнетиктің бірлік көлемнің магниттік моменті нөлден өзгеше болады, яғни парамагнетик магниттелген күйде болады. Парамагнетиктің осылай магниттелуін бағытталғыштық магниттелу деп атайды. Магниттелген парамагнетиктің атомдарының магниттік момент­терінің магнит өpici бағытымен бұрыш жасау ықтималдығы Больцман таралуымен анықталуы керек:

(10.12)

Магниттік моменттерінің бағыттары денелік бұрыштың ішінде жататын молекулалардың саны dn болса,

(10.13)

бірлік көлемдегі молекулалардың саны, бұл теңдіктен

(10.14)

Бірлік көлемде орналасқан молекулалардың магниттік моменттерінің магнит өpiciнe проекцияларының орта мәні, яғни магниттелгіштік , мұндағы - Ланжевен функциясы деп аталады. Магниттелгіштіктің магнит өpiciнe тәуелділігі 7.8.4.1-суретте көрсетілгендей болады. Магнит өрісінің белгілі бip мәнінен бастап магниттелгіштік өзінің қанығу мәніне жетеді, яғни бірлік көлемдегі барлық молекулалардың магниттік моменттері өpic бойымен бағытталады.

Бұл өpicтiң шамасы өте үлкен болмаса, яғни шарты орындалатын болса, Ланжевен функциясын -ның дәрежесі бойынша жіктеуге болады, сонда

(10.15)

Соңғы тендікті қатынасымен салыстырсақ

(10.16)

Сонымен парамагнетиктердің магниттелу коэффициенті молеку­лалардың концентрациясына және олардың магниттік моментінің квадратына тура пропорционал да, температураға кepi пропорционал екенін көреміз. Парамагнетиктердің магниттелу коэффициентінің температураға кepi пропорционал екендігін тәжірибе жүзінде көрсеткен П.Кюри, сондықтан бұл тәуелділікті Кюри заңы деп атайды.

Ферромагнетизмнің элементар теориясы. Кванттық механика курсынан электрондардың өзара алмасу әсерінің энергиясын

(10.17)

түрінде алуға болатындығы көрсетіледі. Бұл формуладағы және -әсерлесу электрондардың спиндері, I -алмасу әсерінің интегралы деп аталады. екінші электронның магниттік моменті мен электрон орналасқан нүктедегі бipiншi электронның магниттік моменті тудыратын магнит өpici индукциясының көбейтіндісі түрінде жазуға болады.

(10.18)

мұндағы ,

Магниттелгіштік векторы I мен В арасындағы

(10.19)

қатынасты электрондар арасындағы алмасу әсерін ескере отырып, былай жазуға болады:

(10.20)

Негізгі әдебиет: [1] ; [2]; [3].

Қосымша әдебиет: [2]; [3].

Бақылау сұрақтары:

1. Диамагнетиктер.

2. Парамагнетиктер.

3. Ферромагнетиктер.

Дәріс 11. Тақырыбы: Электромагниттік индукция

Қарастырылатын сұрақтар:

Электромагниттік индукция және квазистационар айнымалы токтар. Қозғалыстағы өткізгіштердегі индукциялық токтар. Фарадейдің электромагниттік индукция заңы және оның дифференциалдық түрде тұжырымдалуы. Ленц ережесі. Өздік және өзара индукция құбылыстары. Магнит өрісінің энергиясы. Магнит өрісі энергиясының тығыздығы. Индуктивтілік.