Тема 2.4. Дифференциальные уравнения.

Студент должен:

знать:

- определение дифференциального уравнения;

уметь:

- решать простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y’=f(x) (с разделяющимися переменными, однородные, линейные);

Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и линейные.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется порядком дифференциального уравнения?

3. Что называется общим решением дифференциального уравнения?

4. Что называется частным решением дифференциального уравнения?

5. Перечислить виды дифференциальных уравнений первого порядка?

Раздел 2. Основы теории вероятностей и математической статистики.

Тема 2.5.1. Основные понятия комбинаторики. Бином Ньютона.

Студент должен:

знать:

- определение размещения;

- определение перестановок;

- определение сочетания;

уметь:

- вычислять перестановки, размещения, сочетания;

- решать комбинаторные уравнения и задачи.

Основные понятия комбинаторики, бином Ньютона и его свойства. Решение комбинаторных уравнений и задач.

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется перестановками?

2. Какое принято обозначение перестановок из n – элементов?

3. Как обозначается произведение n – первых натуральных чисел?

4. Как в комбинаторике называются конечные упорядоченные множества?

5. Как обозначается число размещений из х по у?

6. Как обозначается число сочетаний из х по у?

Тема 2.5.2. Теория вероятностей .

Студент должен:

знать:

- определение вероятности событий;

- определения видов событий;

- определения операций над событиями;

- формулировки теорем сложения и умножения вероятностей;

уметь:

- оценить по относительной частоте события вероятность его появления или не появления;

- находить вероятность события, пользуясь классическим определением вероятности и простейшими комбинаторными схемами;

- вычислять вероятности суммы несовместных событий, произведения независимых событий;

Опыт. События. Виды событий. Случайные события. Виды случайных событий. Относительная частота появления события. Классическое определение вероятности события. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Противоположные события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Вопросы для самопроверки:

1. Какие события называются совместными?

2. Какие события называются противоположными?

3. Дайте классическое определение вероятности.

4. Сформулировать теоремы сложения вероятностей: а) несовместных событий;

б) совместных событий.

5. Чему равна сумма вероятностей двух противоположных событий?

6. Что называется условной вероятностью события?

7. Сформулировать теоремы умножения вероятностей: а) независимых событий;

б) зависимых событий.

3. Задания для контрольной работы.

Выбор номеров вопросов определяется последней цифрой.

Задание 1. Вычислить пределы:

Указания к заданию 1

Опр.Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к х_о (или в точке х_о),

если для любого > 0 существует такое , что для всех х, удовлетворяющих

условиям |х – х_о| < , хх₀, имеет место неравенство |f (x) – А| < .

Если А есть предел функции f (x) при х, стремящемся к х_о, то пишут

или при .

Если в определении предела вместо неравенств , т.е. ,

хх₀, рассмотреть неравенства , то получим понятие правого предела. В

этом случае пишут

Рассматривая неравенства , вводим понятие левого предела:

.

Предел (двусторонний) функции в точке х_о существует в том и только в том случае, когда левый и правый пределы в этой точке существуют и совпадают: f (x₀ –0)=f(x₀ +0).

Опр. Число А называется пределом функции f (x) при x , ,

если для любого >0 существует такое М>0, что х > М  | f (x) – А | < .

Опр. Число А называется пределом функции f (x) при x -, ,

если для любого >0 существует такое М>0, что х < –М  | f(x) – А | < .

Опр. Число А называется пределом функции f (x) при x , ,

если для любого >0 существует такое М>0, что | х | > М  | f (x) – А | < .

Замечание: вычисление любого предела начинается с подстановки предельного значения аргумента в функцию стоящую под знаком предела.

_{Пример 1}. Вычислить предел

Пример 2. Вычислить предел

Пример 3. Вычислить предел

Решение. Если подставить х = 1 в рассматриваемую функцию, получим 0 в числителе и знаменателе. Без дополнительных преобразований трудно сказать, к чему будет стремиться подобное выражение. Поэтому такие выражения называют неопределенностями, которые могут иметь вид: Для каждой неопределенности существуют свои способы вычисления пределов.

Разложим числитель на множители:

Замечание: а) замечательные пределы

б) эквивалентности при sin , , ,

. При вычислении пределов можно пользоваться этими соотношениями.

Пример 4. Вычислить предел

Необходимо разделить числитель и знаменатель на переменную в наивысшей степени:

Задание 2. Производная и её приложения.

1. Найти производные функций:

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции:

2. Найти производные функций:

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

3. Найти производные функций:

Исследовать функцию на монотонность

4. Найти производные функций:

Исследовать функцию на экстремум

5. Найти производные функций:

Найти наименьшее и наибольшее значения функции

6. Найти производные функций:

Исследовать функцию на монотонность:

7. Найти производные функций:

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции:

8. Найти производные функций:

Исследовать функцию на монотонность:

9. Найти производные функций:

Исследовать функцию на экстремум:

10. Найти производные функций:

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

Указания к заданию 2

_Опр. Если при существует конечный предел дроби ,то этот предел называют производной функции в точке х и обозначают символом :

Основные правила и формулы дифференцирования

Формулы:

Возрастание и убывание функции

Для того чтобы дифференцируемая функция f(x), возрастала в некотором промежутке, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрицательна в этом промежутке, f’(x)≥0.

Для того чтобы дифференцируемая функция f(x) убывала в некотором промежутке, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была не положительна в этом промежутке, f(x)≤0.

Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции, необходимо:

1). Найти область определения функции.

2). Найти производную функции.

3). Приравнять производную к нулю, го есть определить ее корни, а также найти точки, в которых производная не существует, а функция существует.

4). Определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.

Пример:

1.Область определения – любое число.

2. Найдём производную:

3. если . Точек в которых функция не существует нет.

4. -1 1

функция возрастает, функция убывает.

Исследование функции нa экстремум

Пусть функция f(x) задана и непрерывна па отрезке [a;b] и не является в нем монотонной. Точка x₀ называется точкой локального максимума, если существует такая δ - окрестность точки x₀, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство f(x₀)≥f(x) (рис.1)

Аналогично определяется точка локального минимума.

Точка х₀ называется точкой локального минимума, если существую такая δ - окрестность точки х₀, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство f(x₀)≤f(x) (рис. 2).

Необходимые условия экстремума

Если функция f(x) в точке x₀, имеет экстремум, то производная f’(x₀) обращается в нуль или не существует. Точка x₀, в которой f’(x₀)=0, называется стационарной точкой.

Достаточные признаки существования экстремума

Правило 1. Если при переходе (слева направо) через стационарную точку x₀, производная f’(x₀) меняет знак с плюса на минус, то в точке x₀ функция f’(x₀) имеет максимум; если с минуса на плюс, то минимум; если знак не меняет, то экстремума нет.

Правило 2. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема и имеет непрерывную вторую производную в точке x₀ и в некоторой ее окрестности, тогда если f’(x₀)=0, a f’’(x₀), то в точке х₀ функция f(x₀) достигает экстремума:

1) максимума, если f’’(x₀)<0. 2) минимума, если f’’(x₀)>0.

Пример: Используя ранее рассмотренный пример, можно увидеть, что производная при переходе через точки -1 и 1 меняет знак, следовательно, в этих точках имеется экстремум, причем в точке -1 - максимум, а в точке 1 - минимум.

-1 1

в). Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба.

График функции y=f(x) называется выпуклым в интервале (а, b), если он расположен ниже касательной. проведенной в любой точке этого интервала (рис. З).

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (а, b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 4).

Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции.

Если f’’(x)<0 в интервале (a, b), то график функции является выпуклым в этом интервале; если же f’’(x)> 0,то в интервале (a, b) график функции - вогнутый.

Точка (x₀; f(x₀)) графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Если x₀ - абсцисса точки перегиба графика функции y=f(x₀), то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых f’’(x₀)=0 или f’’(x₀) не существует, называются критическими точками второго рода.

Если при переходи через критическую точку второго рода x₀, вторая производная меняет знак, то точка (x₀, f(x₀)) есть точка перегиба.

П ример: Если продолжить рассматривать предыдущий пример, то найдём вторую производную: если . Точек в которых функция не существует. - +

0

Так как вторая производная поменяла знак, то в точке х=0 имеется перегиб функции.

Задание 3. Найти интегралы:

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

Указания к заданию 3.

Опр. Пусть функции f(x) и F(x) определены на интервале (a,b). Если функция F(x) имеет производную на (а,b) и для всех выполняется равенство то функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b).

Пример:

Если F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), то

очевидно, и функция F(x)+С где С-любая постоянная, является первообразной

для функции f(x), на интервале (a,b).Справедливо и обратное утверждение.

Опр. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на интервале

(а,b), называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале

и обозначается Таким образом, если F(х) - какая-либо первообразная функции f(x) на интервале (а,b). то пишут

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием функции f(x).