1.8. Интегральное исчисление

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция непрерывна на отрезке и функция является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница:

.

Свойства определенного интеграла.

1. .

2. .

3. Для любых чисел a , b и с имеет место равенство

.

4. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла: .

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов: .

Далее будем полагать, что a<b.

6. Если функция всюду на отрезке , то .

7. Если всюду на отрезке , то .

8. Если функция интегрируема на , то .

9. Если М и m – соответственно, максимум и минимум функции на , то .

Основные правила интегрирования.

Замена переменной.

Пусть: 1) - непрерывная функция на отрезке ;

2) функция - дифференцируема на , причем непрерывна на и множеством значений функции является отрезок ;

3) .

Тогда справедлива формула: .

Заметим, что при подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и выполнить необходимые преобразования подынтегрального выражения.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: Сделаем замену: . Тогда . Пределы интегрирования: при и при .

Получаем: .

Интегрирование по частям.

Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда справедлива формула: .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение: Пусть ; тогда ; по формуле получим

.

Геометрическое приложение определенного интеграла.

Площадь плоской фигуры.

рис.1

Рассмотрим на плоскости 0xy фигуру, ограниченную графиком непрерывной и неотрицательной функции на отрезке , отрезком и вертикальными прямыми (рис.1). Эта фигура называется криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции на отрезке :

.

Если фигура ограничена сверху и снизу функциями и соответственно, непрерывными на отрезке , причем , то площадь S криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками и :

.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение: Вычислим абсциссы точек пересечения указанных кривых, для чего приравняем правые части этих уравнений: . Корни уравнения . Следовательно, площадь фигуры дается определенным интегралом на отрезке :

.

1.9. Контрольные задания по разделу «математический анализ».

1. Задания по теме «Предел числовой последовательности»:

Таблица А
№ варианта	1. По определению предела последовательности доказать, что :	2. Вычислить следующие пределы:
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Таблица Б
Вариант 11
Вариант 12
Вариант 13
Вариант 14
Вариант 15
Вариант 16
Вариант 17
Вариант 18
Вариант 19
Вариант 20