Числовые множества

Опр. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Двойная палочка в обозначении означает, что на данном множестве существует пространство, т.е. выполняются операции, подчиняющиеся определенным законам.

• Принадлежность

• Включение

• Объединение (пересечение) множеств

• Счетные объединения (пересечения) множеств

• Отрезок, интервал, полуинтервал, закрытый (открытый) луч

• Конечное множество

• Дополнение

Основные свойства действительных чисел

Принцип Дедекинда (непрерывности действительных чисел) Любому действительному числу а соответствует точка на числовой прямой, каждой точке на числовой прямой можно поставить в соответствие число.

Числовая прямая содержит начало координат, направление, масштаб (задан единичный отрезок); на числовой прямой нет разрывов, островков, пробелов и т.д.

Числовая прямая – геометрический образ действительных чисел. Точки и числа во взаимооднозначном соответствии.

Упорядоченность множества R

Для любых а и b из R выполняется: либо , либо , либо .

Абсолютная величина (модуль) действительного числа и его свойства

|a| =

Геометрический смысл: модуль – расстояние от точки до начала координат

Свойства модуля:

1. |a|

|a| = |–a|

–a |a|

a |a|

2. |a||b| = |ab|

= , b

3. Если с |c|

4. Неравенство треугольника. Оценка модуля суммы (разности) сверху:

5. Оценка модуля суммы (разности) снизу:

Обобщенная числовая прямая.

:

1. Все действительные числа – конечные

2. 

3. 

4. 

Неопределенности:

Элементы в действительности не существуют. Их следует рассматривать, как обобщение понятия числа. Они служат для описания процессов, связанных с удалением от заданного центра.

- расширенная числовая прямая.

Окрестность точки в . Задание окрестности.

Опр. Окрестностью точки а называется любой интервал с центром в точке а, при этом длину полуинтервала обозначают >0, и окрестность называют эпсилон-окрестностью точки а ( ).

Окрестностью точки называют любой луч, содержащий правым концом .

Окрестность точки удобно задавать с помощью модуля.

Для описания процессов, связанных с удалением от заданного центра, в которых, неважно в какую сторону удаляемся, вводится понятие бесконечности неопределенного знака.

Метод математической индукции. Бином Ньютона.

Метод мат. индукции:

1. (проверка истинности) или .

2. (допущение мат. индукции)

3. (доказательство при )

При выполнении всех 3х шагов мат. индукции, математическое выражение истинно.

Бином Ньютона.

Следствия из Бинома Ньютона:

• : Сумма биноминальных коэффициентов равна .

• : Сумма четных биноминальных коэффициентов равна сумме нечетных.

Ограниченные и неограниченные множества в

Точная верхняя и точная нижняя . грани множества.

Опр. Множество А ограничено сверху, если

Верхних границ у данного множества (если оно ограничено сверху) бесконечное множество (В).

Опр. Наименьшая верхняя граница – точная верхняя грань множества:

1. 

2. 

Опр. Если , то у множества существует максимальный элемент – максимум множества.

Опр. Множество А ограничено снизу, если

C – Множество нижних границ.

Опр. Наибольшая нижняя граница – точная нижняя грань множества:

1. 

2. 

Опр. Если , то у множества существует минимальный элемент – минимум множества

Опр. Множество А неограниченно сверху (снизу), если

Опр. Множество А ограничено, если

Опр. Множество А неограниченно, если

Теорема. Множество ограничено

Теорема. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань. Всякое непустое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю грань. Т.о. всякое ограниченное множество имеет точные грани.

Существование точных граней доказывается от противного, путем разбиения множества на 2 подмножества, одно из которых – множество верхних (нижних) граней.

Свойство Архимеда

От противного (пусть , тогда а – верхняя грань множества натуральных чисел…)

Числовые функции одной переменной

Опр. На множестве Х задана функция со значениями из множества У, если указано соответствие f, которое каждому ставит в соответствие единственный элемент

х – независимая переменная (аргумент)

у – зависимая переменная (функция)

– область значений функции

– отображение множества Х на множество (морфизм)

Опр. Геометрическое место точек вида М(x,f(x)), называется на декартовой плоскости xOy графиком функции.

Существует только одно пересечение графика с вертикальной прямой .

Если функция задается формулой, то областью определения функции является максимально допустимое множество Х.

Опр. 2 функции и определенные на одном множестве Х, называются эквивалентными, если

Функция считается заданной, если заданы 3 ее основных элемента: Х, f, Y.

Опр. Если в определенной функции Х = У, то определено отображение Х в себя. При этом отображение взаимно однозначно (биективно), если . В этом случае и каждому у соответствует единственный х.