1.7. Интегральное исчисление
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Первообразная.
Предыдущие
разделы были посвящены одной из основных
задач дифференциального исчисления –
нахождение производной заданной функции.
Однако еще большее приложение в
разнообразных науках находит задача:
по данной функции
найти такую функцию
,
производная которой равна функции
.
Определение
1.7.1. Функция
называется первообразной
для функции
на промежутке Х,
если для любого
функция
дифференцируема и выполняется равенство
.
Примеры.
1)
Функция
является первообразной для функции
на всей числовой оси, так как при любом
х:
.
2)
Функция
является первообразной для функции
на промежутке
,
так как в каждой точке этого интервала
выполнено равенство
.
Заметим,
что задача отыскания по заданной функции
ее первообразной не однозначна: если
первообразная, то и функция
,
где С
– произвольное постоянное число, также
первообразная для функции
,
так как
.
Определение 1.7.2. Совокупность всех первообразных функций для на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке и обозначается символом
.
В
этом обозначении знак
называется
знаком
интеграла;
- подынтегральной
функцией;
- подынтегральным
выражением,
а переменная х
– переменной
интегрирования.
Операция нахождения первообразной по ее производной или неопределенного интеграла по данной функции называется интегрированием этой функции.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов.
|
|
|
Основные методы интегрирования.
Метод разложения. Этот метод основан на вычислении интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов.
Пример 1. Вычислить интегралы:
1.
.
Решение: Применяя свойства 4. и 5. получим
2.
Решение:
Так как,
то
Метод замены переменной.
Пусть функция х = (t) монотонна и имеет непрерывную производную на некотором промежутке изменения переменной t, функция f(x) непрерывна на интервале, принадлежащем области значений функции х = (t), так что определена сложная функция f((t)). Тогда справедливо равенство
.
Часто используются следующие варианты замены переменной:
1.
Пример 2. Вычислить интегралы:
1.
Решение:
Имеем
.
Положим
,
тогда
.
Находим
.
Выделяя делением целую часть дроби,
получаем
Окончательно
2.
.
Решение:
Преобразуем выражение
.
В
результате получим
.
Сделаем замену переменной
,
тогда -
,
откуда
.
В
итоге имеем:
Метод интегрирования по частям.
Пусть
- непрерывно дифференцируемые функции.
Тогда справедлива формула:
.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
В
интегралах типа
,
где
,
полагаем
функцию u(x)=Pn(х),
а оставшуюся часть подынтегрального
выражения берем за dv
и находим функцию v.
Если подынтегральное выражение содержит функции ln x, arccos x, arcsin x,
arctg x, arcctg x, то именно эти функции берем за функцию u. Иногда до применения формулы интегрирования по частям необходимо сделать замену переменной.
Пример
3. Вычислить
интеграл
.
Решение:
Положим
.
Тогда
(одна из первообразных);
имеем
(*).
Интеграл
снова вычисляем по частям, положив
.
Тогда
.
Подставляя значение полученного интеграла в (*) находим
.
Перенося
интеграл из правой части равенства в
левую, получаем
,
откуда
окончательно имеем
