1.6. Исследование функций и построение графиков

Схема исследования графика функции.

Изучение заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить в следующем порядке:

1. найти область определения функции;

2. исследовать функцию на четность – нечетность;

3. найти точки пересечения графика функции с осями координат;

4. найти асимптоты;

5. найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

6. найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба;

7. Построить график, учитывая проведенные выше исследования.

Признак монотонности функции.

Одной из существенных характеристик функции является ее поведение на отдельных интервалах – возрастание или убывание. Это определяется следующим утверждением:

Если функция дифференцируема и на некотором промежутке, то функция не убывает (не возрастает) на этом промежутке.

При имеем признак строгой монотонности, то есть функция возрастает (убывает).

Точки локального экстремума.

Определение 1.6.1. Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для любого в некоторой окрестности точки выполнено неравенство

.

Локальный минимум и максимум объединены общим названием – локальный экстремум.

Теорема 1.6.1 (необходимое условие локального экстремума).

Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Геометрически это означает, что если в точках локального экстремума существуют касательные, то они параллельны оси абсцисс.

Теорема 1.6.2 (достаточное условие существование локального экстремума).

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки . Если при переходе через точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке функция имеет локальный максимум (минимум); в противном случае функция не имеет локального экстремума в точке .

Пример 1. Найти точки локального экстремума и интервалы монотонности функции .

Решение: Найдем производную . Приравниваем ее к нулю и решаем уравнение , находим две точки возможного экстремума: . Видно, что при переходе через точку

меняет знак с «+» на «-», следовательно, в этой точке локальный максимум; аналогично устанавливается, что в точке функция имеет локальный минимум.

Найдем теперь интервалы монотонности функции. Поскольку при , то функция монотонно возрастает на этом интервале; (1, 3) является интервалом монотонного убывания , а на интервале функция снова монотонно возрастает .

Выпуклость и точки перегиба графика функции.

Определение 1.6.2. Будем говорить, что график функции на интервале (a, b) выпукл вниз (вверх), если он расположен выше (ниже) любой касательной к графику функции на (a, b).

Способ определения направления выпуклости сформулируем в следующей теореме:

Теорема 1.6.3. Если функция имеет на интервале (a, b) вторую производную и на (a, b), то график функции имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Определение 1.6.3. Точка называется точкой перегиба графика функции , если в ней график имеет касательную и существует такая окрестность точки , в пределах которой график имеет разные направления выпуклости.

Сформулируем необходимое и достаточное условия точки перегиба.

Теорема 1.6.4 (необходимое условие).

Пусть график функции имеет перегиб в точке и функция имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда .

Теорема 1.6.5 (достаточное условие).

Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки , которая имеет разные знаки слева и справа от . Тогда график имеет перегиб в точке .

Пример 2. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение: Находим производные: , при . Знаки второй производной:

Функция выпукла вверх на интервале и выпукла вниз на интервале ; - точка перегиба функции.

Асимптоты графика функции.

Если при неограниченном увеличении модуля аргумента (функции), график функции неограниченно близко приближается к некоторой прямой, то данная прямая называется асимптотой.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение 1.6.4. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если предел .

Вертикальная асимптота существует в точках разрыва функции либо на границе области определения функции.

Определение 1.6.5. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если .

Определение 1.6.6. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если существуют следующие пределы:

.

Пример 3. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Найдем вертикальную асимптоту. Точка является точкой разрыва, причем . Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой.

Горизонтальных асимптот нет, так как .

Наклонные асимптоты:

Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты: .

Пример 4. Исследовать функцию и построить график .

Решение:

1. Область определения функции:

2. Функция является нечетной, так как . Ее график симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно провести исследование на интервале

3. Пересечений графика с осями координат нет.

4. Так как , то имеется вертикальная асимптота – ось 0х.

Определим наклонную асимптоту:

Уравнение наклонной асимптоты: y=x.

5. , то есть производная обращается в ноль в точках .

Точка - локальный минимум; а точка - локальный максимум. Значения функции в этих точках соответственно равны: .

Данная функция возрастает на интервалах ; убывает на интервалах .

6. . Видно, что вторая производная не обращается в ноль, следовательно, точек перегиба нет.

7. График функции имеет вид: