10.2 Цифрлық винерлық сүзгілер

Жалпы мәліметтер. Орта квадраттық қателіктер минимумының критериі бойынша басқару жүйесінің синтезінде, дискреттік жүйенің параметрлері және оңтайлы құрылымын табудың тапсырмасы алға қойылған, егер оның кіре берісіне қатысынсыз әсер ететін кедергілер мен қажетті дабылдың статистикалық сипаттамалары белгілі болса болды.

Ескере кететін жайт, винерлік сүзгілерді пайдалану қажетті дабыл және кедергілер стационарлы кездейсоқ дабылдарға сәйкес келеді. Ортаквадраттық қателіктер минимумы стационарлы жағдайға да сәйкес келеді, сонымен қоса басқару жүйесінің өту үрдістерінің аяқталуынан кейін және оның шығысында орнатылған режимді алу болып табылады.

Бұнымен салыстырғанда калмандық сүзгі өту режимінде оңтайлылықты қамтамасыз етеді (орта квадраттық қателіктер минимумы).

H₀(z)

H(z)

10.1. Сурет. Винер Сүзгісі

Винерлік сүзгіге қойылған тапсырманы 10.1 суреті айқындайды, мұнда u [n] – қажетті дабыл; ʋ [n] – кедергі; r [n] – нәтиже беруші дабыл; y [n] – басқару өлшемі; g [n] – басқарылатын өлшемнің қажетті мәні (берілетін әсері); e [n] = g [n] – y [n] – басқару жүйесінің қателігі; H₀ (z) – қажетті дабылды өңдеудің операторы; H (z) – тұйықталған басқару жүйесінің берілу функциясы.

H₀(z)

H(z)

10.2. Сурет. Көп өлшемді винер сүзгісі

Оңтайлылық критериясының сапасы ретінде минимум дисперсия қателігі қарастырылады.

(10.1)

Егер H₀ (z)=1 тең болғанда, онда оңтайлы орналастырудың тапсырмасы болады, аддитивті дабыл қоспасы және кедергілерден шыққан дабыл g [n] = u [n] болады. Кедергінің нөлге теңесу шешімі болғанда онда үш виалды түрде болады: H (z) =1.

Оңтайлы статистикалық пайымдаулар тапсырмаларында H₀ (z) =exp (pτ₀) = z¹, мұнда пайымдау уақыты τ₀ = IT; L – такттардың саны болады, осыменен пайымдау жасалады. Берілу функциясының H (z) оңтайлы жиілігін табуда құрастырушы оны басқару жүйесінде қалыптасып құрылған элементтерді пайдаланып іске асыруы қажет. Көптеген практикалық жағдайларда берілу функциясының оңтайлы нақты орындалуы мүмкін болмайды, сондықтан өзінің оңтайлы параметрлерімен жақын және сәйкес келетін квази оңтайлы немесе субоңтайлы жүйелерді пайдаланады.

Винерлік сүзгінің көп өлшемдік жағдайларда тапсырманы матрица-бағанасында u [n] , ʋ [n] және y [n] қарастырғанда да шешілуі мүмкін. Осы жағдай үшін арналған схема 10.2. суретте көрсетілген. Оны біз көп өлшемдік деп қарастыруымыз қажет. Оңтайлы критерии сапасы ретінде оны математикалық күтудің минимумы реінде аламыз мұнда Г – кез-келген қалыпты анықталған матрица, a e [n] – қателіктердің матрица-бағанасы. Бұл жағдайда әрбір құрастырушы e [n] азайтылады.

Винер сүзгісінің теңдеуі. 10.1 суретке сәйкес дисперсия қателіктері

(10.2)

7 тарауға негізделген (10.2) формуласы келесідей жазылуы мүмкін:

Мұнда қажетті дабылдың спектралды тығыздығы келтірілген, кіре берістегі қосынды дабылы қосынды кіру дабылының спектралды тығыздығы және оған әсер етуші

Соңғы екі қосындының суммассы (10.3) формулаға сәйкес бір қосындының екі еселенуіне тең болып келеді.

(10.4)

Жақшадағы формуланы квадраттап қосып аламыз . Нәтижесинде мынаны аламыз

(10.5) формуласын алуда модулдің квадраты әртүрлі екі кешенді өлшем

мұнда b₁ – b өлшемімен кешенді жанасқан өлшем.

Берілу функциясының түсінігінің мінсіз жүйесін енгізуге болады

(10.5) бейнелеуінен көргеніміздей, болғанда дисперсия қателігі минималды мәнде болады. жағдайында кедергімен араласқан қажетті дабылдың шығуында және қажетті дабыл мен кедергінің аралығында корреляцияның болмауы кезінде болады. болғанда

Алайда (10.7) формула сүзгінің нақты физикалық орындалуын есепке алмағанда. Бұл шарт болғанда фильтрдің импульстік сипаттамасы h [n] нөлге тең болады.

Бұл жағдайда берілу функциясы өзгермелі jλ сол жақты жартылай жазықтықтың барлық полюсі болуы тиіс.

Физикалық орындалу шартымен берілу функциясының оңтайлылығын анықтау (10.5) формулаға арналған нұсқалы тапсырманы шешумен орындалады. Сонымен қатар берілу функциясына δН^* өсу беру керек. (10.5) формулағақоямыз, мұнда η – ерікті тұрақты. Дисперсиядағы қателік тең болған кезде минимумға жетеді, тек егер Н^* берілу функциясының оңтайлылығына сәйкес келгенде.

(10.8) формулаға келесідей өзгертулерді енгіземіз. Қосынды кіру дабылының спектралды тығыздығы

Екі кешенді-түйіндес шама туындылар түрінде көрсетілуін факторизация деп атайды

көбейткіші барлық полюстер және өлшемнің сол жарты жазықтығынан jλ (λ өлшемінің жоғарғы жарты жазықтығы) құралған, ал көбейткіш оң жақ жарты жазықтық. Онда (10.8) формуланы келесідей түрде жазуға болады:

(10.11) формулаға (10.12) екінші қосындыны қойғанда интегрирленген нөлді береді. Ось маңайындағыны сол жарты жазықтықтың барлығын интегрирлеуді тұйық контурға алмастырғанда, интеграл функциясы нөлге тең болады.

Осыған сәйкес, оңтайлы берілу функцияларына арналған (10.11) ден бейне аламыз.

(10.13) екінші көбейткіш келесідей түрде беріледі

Мұнда F^* (jλ) – кейбір полином; а_i – сол жарты жазықтықта жатқан түбір; β_к – қарапайым бөлінділерге ажырату коэфициенті (түбірлер – бір жақты болады).

Бұл жағдайда (10.14) бөлімін орындайды

Ал (10.13) формула келесі түрге ие болады

Бұл жерде келесідей функция пайдаланылған

Оңтайлы сүзгінің дискретті берілу функциясына өтуі келесідей құрылыммен жасалады jλ = 2 (z+1)/[(z+1)T]. Нәтижесінде мынаны аламыз

Оңтайлы жүйелердегі қателіктер. Оңтайлы жүйедегі орын алатын қателіктің минималды дисперсиясы (10.4) бейнемен айқындалады. Байқағанымыздай, оған қойылатын оңтайлы берілу функциясының мәні (10.13) қойып қарапайым қылып жасай аламыз:

(10.18) формуладан көргеніміздей, оңтайлы жүйедегі дисперсия қателігі шығу өлшемінің және берілетін әсердің әртүрлілігі тең болады.

(10.18) формула дисперсия қателігінің есептеріне арналған оңтайлы бейнені пайдалануға болады. (10.15) формуласынан

(10.20)

Соңғы бейнені басқа түрде көрсетуге болады. Оның бірінші қосылғышы берілген әсер дисперсиясына сйкес келеді, ол корреляционды функцияның алғашқы мәніне тең болып келеді R_g (0). (5.48) формулаға сәйкес екінші қосылғыш торлы функцияның квадрат соммасын келтіреді.

Бұл торлы функция өзгеру функциясымен байланысты болады

Берілгенге сәйкес (10.21) формула келесідей формулада көрсетілуі мүмкін.

Алайда, дисперсия қателігінің есебіне арналып қарастырылып отырған формулалар мына жағдайда қажетсіз, егер де спектралды тығыздық бөлгіште λ²¹ көбейткіші болады. Осыған қарамастан, (10.18), (10.20) және (10.23) формулаларындабірінші және екінші қосынды шексіздікке ұмтылады, алайда олардың әртүрлілігі соңғы болып қала береді. Соңғы жағдайдағы беріліс функциясының қателігі үшін есептеуіште көбейткіш λ²¹ болады. Сондықтан, ештеңеге қарамастан кіру үрдіс дисперсия уақытымен жоғарылайтын стационарлы емес болып келеді. Қажетті дабыл және кедергі арасындағы корреляцияның болмауы мынандай түрде болуы мүмкін (7 тарауды қараңыз)

Оңтайлы берілу функциясына арналған формула (10.13) өзгеріссіз болуы ықтимал. Шартты орындауда дискреттілік айналымы пайдалы корреляция уақытынан азырақ болады, бұл көп жағдайларда кездеседі, бөлгіш квадрат жақшадан шығарылуы және аналогиялық көбейткіштермен қысқартылуы мүмкін.

Нәтижесінде оңтайлы берілу функциясына арналған

Бұл жағдай үшін квадратты жақшалар бейнесінің бөлігі орындалады

Осыған орай (10.15), (10.20) және (10.23) формулаларында өзінің түрін сақтайды.

(10.23) немесе (10.26) формулаларын берілу функциясының оңтайлылығын анықтау үшін пайдаланылады, ол дисперсия қателігінде алынатын қарапайым айырмашылықтар болуы мүмкін. Сондықтан осымен пайдалану қосымша қателікті бақылауда берілу функциясының оңтайлылығы үшін болады.

Кірудегі ақ шулы жүйе. Спектралды тығыздығымен ақ шулы дискрет типті кедергілер жүйесінің кіруінің әсер жағдайын қарастырайық мұнда дисперсия шуы. Өзгертуші операторды қабылдаймыз

Қажетті дабылдың және кедергінің кіру спектралды тығыздығы

Спектралды тығыздықты факторизация нәтижесінде (10.10) аламыз

Берілу функциясының оңтайлы жиілігі

Қажетті дабылдың спектралды тығыздығы рационалды бөлу функциясы берілген

Бұл жағдайда (10.27) формуланы келесідей түрде жазуымызға болады:

Онда (10.28) формуланың көрсеткіші

Фигуралы жақшадағы бейнелеу (10.28) келесідей үлгіде жазылады:

Квадратты жақшадағы (10.29) екінші қосынды полюстерді және нөлді ұстайды, оң жарты жазықтықта жатқандар ғана (10.28) формулаға қойылу үшін және тұрақты мүшені анықтауда ол көбейткіштің бір полюсін береді Осылайша, осы жағдайдағы фигуралы жақшадағы (10.27) бейнесінің нақты бөліктері көрсетілген.

Ал формуланың өзі (10.28) кірудегі ақ шу кездейсоқ жағдайларда

Байқағанымыздай, (10.30) формуладағы қателіктер үшін беріліс функциясы

(10.29) формуланы полюске сәйкес коэфициентке арналған қарапайым бөліндіге арналған қою формуласына негізделген.

Жақындалған (10.25) формуланың бейнеленуінің пайдалану жағдайында берілу функциясы үшін (10.30) өзінің түрін сақтайды, алайда оған кіретін коэфициент келесідей формуламен анықталуы тиіс

Мұнда екі мүмкіндік бар. Егер полином дәрежесі дәрежесінен кем болады, онда Егер дәрежелер тең болса, онда коэфициент с₀ (10.32) формуламен есептелуі тиіс,

Тұйық жүйенің берілу функциясы. Басқару жүйелерінде ережедегідей бірліктік басты кері байланыс пайдаланылады, белгілі қатынасты [18] анықтайтын тұйық жүйенің берілу функцияларын табу қажет болып табылады.

Кейбір жағдайларда кедергі дискретті ақ шуға айналғанда (10.33) формуланы (10.30) пайдаланып былай қарапайым қылып жаза аламыз

(10.34) көргеніміздей берілу функциясының полюстері тұйық жүйенің полюстерімен сәйкес келеді, олар сонымен қатар қажетті дабылдың спектралды тығыздықтың полюсімен сәйкес келеді. функциясы үшін оның барлық полюстері мен нөлдері жарты жазықтықта жатуы тиіс, ол ауыспалылығы үшін, онда тұйықталған оңтайлы жүйе тұрақты сүзгі болып және онда кейбір полюстер болуы ғана мүмкін.

Тұйық жүйенің берілу функциясының жиілік түрі белгілідей қойылған берілу функциясының W (z) дискреттілігін табуға болады.

Басқару тапсырмаларында микропроцессордың кейбір нысаны белгілі берілу функцияларының нысандарынан қажетті талап етілетін реттеуші бағдарлама табылды, ол қажетті берілу функциясының цифрлық бөлік микропроцессор қондырғысымен іске асады:

Шектеулердің нәтижесінде микропроцессор қондырғысының бағдарламасымен орындалатын, (10.35) бейнесі бойынша жүйені оңтайлы дұрыс құруда осыған жетпеу де мүмкін.

Мысал 10.1. Кедергіден корреляционды функциямен қажетті дабыл шығу жағдайын қарастырайық, оның мынадай корреляционды функциясы болғанда Осындай үрдістерді дискретизация кезінде мынадай корреляционды функциялар алынады және мұнда Т – айналым дискреттілігі. Спектралды тығыздықтар (7 тараудан қараңыз) 1 болғанда мынадай түрде болады.

Мұнда тұрақты уақыттың эквиваленттері енгізілген Т₁

(10.10) сәйкес қажетті дабыл мен кедергінің арасындағы корреляция болмағандықтан

Мұнда А=2

`(10.13) формулаға сәйкес

Квадратты жақшалардағы бейнелердің орындалатын бөлігі (10.16) функцияны береді

Байқағанымыздай, кедергілер болмағанда аламыз.

(10.20) сәйкес оңтайлы жүйедегі дисперсия қателіктері

Кедергілер болмағанда

Мысал 10.2. D_v деңгейіне тең дискретті ақ шумен спектралды тығыздықтың қажетті дабылын шығару жағдайын қарастырайық.

Мұнда ең жақын қарапайым нәтижеге әкеледі деген (10.25) формуланы қолданамыз. (10.10) формулаға сәйкес

(10.25) тен мынаны табамыз

(10.30) формуланы пайдалану осы нәтижеге әкеп соғады

(10.34) бейнелеуден тұйық жүйенің берілу функциясы табылуы мүмкін

(10.20) формуласы бойынша дисперсия қателігінің есебі мүмкін болмайды, өйткені ек интегралда ажырап кеткендіктен, сондықтан (10.24) формуланы пайдаланған жөн. Осы формулаға сәйкес

Соңғы бейнелеуден қорытынды шығаруға болмайды, болғанда дисперсия қателігі нөлге ұмтылады. Бұл мынамен түсіндіріледі, дискреттіліктің айналымының кіші мәндерінде оқ шуға дискреттілігінің кедергілерінің келуі дұрыс пайымдау болмайды, сондықтан корреляционды байланыстар көрші дискреттерге әсер етеді.

Енді оңтайлы берілу функциясын табу үшін (10.30) және (10.31) формулаларын табамыз, олар шығу мәндеріне (10.13) сәйкес келеді. (10.31) формуласына сәйкес тұрақты коэфициент

Нәтижесінде берілу функциясының оңтайлы жүйесі мынадай болады

Мұнда тұрақты уақыт

(10.24) формуланы пайдалану оңтайлы дисперсия қатігі жағдайын береді

Осы нәтижені алдыңғымен салыстырғанда (10.13( нақты бейнелеуді пайдаланудың ұтымды дәлдіктері бар. Алайда қатынастың аздығынан Т/τ бұл нәтиже практикалық тұрғыдан еш мағынасы жоқ. Осымен қоса, берілу функциясының оңтайлы жүйесі өте күрделі болып табылады.

Болжамдау. Кейбір жағдайларда қажетті u [n] дабылды l тактіге g [n] = u [n+1] іске асыру қажет болғанда, өзгеру операторы болады. Сонымен қатар оңтайлы берілу функциясына арналған (10.28) жиілікті берілу функциясынан аргумент z функциясына қайтаруға болады. Бұны былай қою арқылы іске асады Нәтижесінде мынаны аламыз

Мұнда бір радиус шеңберінің ішінде жатқан түбірге сәйкес келетін спектралды тығыздықтың көбейткіші r = u+v, жақшаның сыртындағы «+» белгісі берілу функциясының орындалатын бөлігінің операциясын білдіреді, ол оған полюстері сәйкес келеді және бір радиус шеңберінің ішінде жатқан нөл болып табылады.

Көптеген жағдайларда кедергі болмаған кездегі болжамдау S_r =S_u , Сондықтан (10.36) формула мынадай түрге енеді

Торлы функцияны табу үшін, (10.36) квадрат жақшадағыға сәйкес, (10.22) формулаға сәйкес кері өзгерткішті пайдалануымызға болады.

Егер болжау (L=0) болмаған кезде кері өзгеріс пайда болады, яғни жылжу теоремасына негізделеді