4.4. Логарифмически нормальный закон

Логарифмически нормальное распределение – распределение двухпараметрическое (рис.4.5) с плотностью распределения

(4.13)

где s и m - параметры распределения.

Вероятность безотказной работы

. (4.14)

Интенсивность отказов

. (4.15)

Рис.4.5. Логарифмически нормальное распределение:

а – вероятность отказов;

б – плотность вероятности отказов;

в – интенсивность отказов

Для логарифмически нормального распределения характерно возрастание интенсивности отказов с увеличением срока эксплуатации.

Числовые характеристики:

средняя наработка

(4.16)

дисперсия

(4.17)

коэффициент вариации

.

Пример 4.5. Наработка до отказа подшипника скольжения механизма уравновешивания шпинделей имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами m=4, s=1.

1. Найти вероятность безотказной работы и интенсивность отказов при наработке t =60 сут.

2. Определить величину средней наработки.

Решение.

Подставляя в формулу (4.14) численные значения m, s и t, получим

где Ф_(0,04)=0,036 из табл.1 прил.Б нормированного нормального распределения.

Используя выражение (4.15), находим интенсивность отказов.

,

где Ф_(0,04)=0,3973 из табл.2 прил.Б.

Значение величины средней наработки находим по формуле (4.16)

4.5. Закон Вейбулла

Закон Вейбулла - это двухпараметрическое распределение (рис.4.6) с плотностью отказов

(4.18)

где b - параметр формы; a - ресурсная характеристика.

Вероятность безотказной работы

(4.19)

Интенсивность отказов

(4.20)

Числовые характеристики:

средняя наработка

(4.21)

дисперсия

(4.22)

коэффициент вариации



(4.23)

Рис.4.6. Распределение Вейбулла:

а – вероятность безотказной работы;

б – плотность вероятности отказов;

в – интенсивность отказов

Для закона Вейбулла интенсивность отказов имеет различный характер изменения с течением времени в зависимости от параметра b.

При b =1 интенсивность отказов есть величина постоянная и распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное распределение.

Для b=2 распределение Вейбулла переходит в распределение Релея, и интенсивность отказов описывается уравнением прямой

. (4.24)

Для b>2 интенсивность отказов растет с течением времени. Если же b<1, интенсивность с течением времени снижается, что, как указывалось выше, характерно для начального периода эксплуатации новых изделий.

Пример 4.6. Наработка 7 секции транспортного рольганга имеет распределение Вейбулла с параметрами a=60 сут, b =l,9.

Найти вероятность безотказной работы и интенсивность отказов при наработке t= 40 сут.

Найти среднюю наработку на отказ.

Решение.

Подставляя исходные данные в формулу (4.19), получим

.

.

Интенсивность отказов находим по формуле (4.20)

Средняя наработка на отказ в соответствии с формулой (4.21)

сут.

где Г(1+1/1,9) - гамма-функция, значение которой находится из табл.6. прил.Б.