Глава 2. Показатели надежности

Для характеристики свойств надежности введены показатели надежности, которые подразделяются на единичные, характеризующие одно из свойств, составляющих надежность объекта, и комплексные, характеризующие несколько свойств, составляющих надежность объекта.

К показателям, характеризующим безотказность объекта, относятся:

• вероятность безотказной работы P (t);

• вероятность отказа Q (t);

• интенсивность отказов l (t);

• средняя наработка до отказа T;

• гамма-процентная наработка до отказа T_g;

• параметр потока отказов w (t);

• средняя наработка на отказ T.

Для характеристики долговечности объекта введены показатели:

• средний ресурс T _р ;

• гамма-процентный ресурс T_g ;

• средний срок службы T _сл ;

• гамма-процентный срок службы T_g .

Ремонтопригодность характеризуется показателями:

• вероятность восстановления P (t_в);

• среднее время восстановления T_в;

• средняя трудоемкость восстановления Q_в.

К комплексным показателям надежности относятся:

- коэффициент готовности K_г;

- коэффициент оперативной готовности K_ог;

- коэффициент технического использования K_ти.

Глава 3. Надежность невосстанавливаемого элемента

3.1. Вероятность отказа и вероятность

безотказной работы

Будем считать, что время безотказной работы t (наработка) есть какая-то случайная величина x с функцией распределения F(t), для которой существует плотность f(t)=F’(t)=dF(t)/dt.

Функция распределения F(t)=P(x<t) есть вероятность того, что на интервале времени [0, t] произойдет отказ, или величина случайной наработки x будет меньше заданной величины t. Назовем функцию распределения вероятностью отказа и обозначим символом Q(t)

F(t)=Q(t)=P(x<t). (3.1)

Дополнительную вероятность

P(t)=1-Q(t)=P(x ³ t) (3.2)

будем называть вероятностью безотказной работы. Следовательно, вероятность безотказной работы есть вероятность того, что элемент будет работоспособным в заданный момент времени, или это есть вероятность того, что случайная величина наработки x будет больше заданного времени t.

Известно, что если случайная величина наработки x имеет плотность функции распределения f(t)=F’(t) , тогда

(3.3)

Плотность функции распределения* f(t) назовем плотностью вероятности отказов

(3.4)

.

Плотность вероятности отказов характеризуется вероятностью отказов в единицу времени на интервале [0, t].

На рис.3.1 показана графическая интерпретация представленных зависимостей.

Рис.3.1. Плотность вероятности отказов:

Q(t₁) - вероятность отказа, численно равна площади под кривой плотности вероятности отказа, ограниченной справа ординатой, проведенной из точки, соответствующей моменту времени t₁;

P (t₁) -вероятность безотказной работы, численно равна площади под кривой плотности вероятности отказов, ограниченной слева ординатой, проведенной из точки, соответствующей моменту времени t₁

3.2. Интенсивность отказов

Примем, что на интервале времени [0, t] отказа не произошло. Необходимо выяснить, какова вероятность отказа в последующую единицу времени Dt (рис.3.2):

A - событие, в котором на интервале [0, t₁] не произошло отказа;

B - событие, в котором на интервале [t₁, t₂] произошел отказ;

С - событие, в котором на интервале [0, t₁] не произошло отказа, а на интервале [t₁, t₂] отказ произошел. Тогда

Рис.3.2. К расчету вероятности появления события C

В этом случае вероятность события C запишется как

(3.5)

Вероятность отказа машины в промежутке времени [t₁, t₂] можно выразить через вероятность безотказной работы

. (3.6)

Тогда вероятность того, что в этом интервале произойдет отказ за единицу времени t₂ - t₁ , при условии, что отказа не было до момента времени t₁, примет вид

(3.7)

Если записать интервал как , то

.

Это соотношение характеризует ни что иное, как вероятность отказов за единицу времени на интервале [t_{2 –} t₁] при условии, что до момента времени t₁ отказа не было. То есть характеризует интенсивность отказов на интервале [t₁, t₂].

Мгновенное значение интенсивности отказов определяется как предел интенсивности отказов на интервале, когда длина интервала стремится к нулю

(3.8)

И ее можно трактовать как вероятность того, что элемент, доживший до момента t, откажет за последующую (малую) единицу времени. Важность мгновенного значения интенсивности отказов состоит в том, что оно показывает изменение интенсивности отказов на протяжении срока службы некоторой совокупности объектов (механизмов, узлов, деталей).

Характерное изменение интенсивности отказов во времени представлено на рис. 3.3.

Рис.3.3. Интенсивность отказов за период службы машины

Для начального периода времени [0, t₁] характерны ранние отказы вследствие дефектов материала, конструкторских недоработок, дефектов изготовления. Этот отрезок кривой получил название период "детской смертности".

Второй отрезок кривой на интервале [t₁, t₂] отображает случайные внезапные отказы, вызванные неожиданным увеличением нагрузок, предельно тяжелыми условиями работы и т.д.

Отрезок кривой после момента времени t_2, характеризует старение объекта, являющееся следствием, как правило, проявления износовых отказов.

Иными словами, интенсивность отказов характеризует изменение качества изделия в процессе эксплуатации.

Интенсивность отказов связана с вероятностью безотказной работы соотношением

, (3.9)

а с плотностью вероятности отказов соотношением

. (3.10)

Интенсивность отказов, рассматриваемая на каком-то промежутке времени, называется накопленной интенсивностью отказов L(t) и связана с мгновенным значением интенсивности отказов соотношением

(3.11)

а с вероятностью безотказной работы соотношением

. (3.12)

Найдем накопленную интенсивность отказов на интервале .

Из выражения (3.9) следует, что вероятность безотказной работы в момент времени t+x

, (3.13)

где - остаточное время жизни элемента, т.е. случайная величина, равная при условии, что ; - время безотказной работы элемента.

То есть вероятность отказа элемента, дожившего до момента времени t , на очередном интервале [t,t+x] зависит только от значения функции на этом интервале и не зависит от ее поведения вне этого интервала и может характеризоваться накопленной интенсивностью отказов (t,t+x) на интервале [t,t+x].

(3.14)

Пример 3.1. Долговечность комплекта вкладышей шпинделей со стороны валков в линии привода чистовой группы клетей (7 клетей) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием =60 сут и средним квадратичным отклонением =10 сут.

1. Построить график плотности распределения отказов и интенсивности отказов на интервале [0, 70 сут].

2. Определить возможное число n₁ отказавших комплектов вкладышей к моменту времени t=50 сут.

3. Определить возможное число отказавших комплектов вкладышей n₂ на интервале [50 - 60] сут.

4. Определить возможное число отказов вкладышей n₃ на интервале [50-60] сут, если до момента времени t=50 сут отказов не было.

Решение.

Построение графиков осуществим, используя зависимости:

т.е.

.

Возможное число отказавших комплектов вкладышей n₁ для t=50, =60 учитывая, что Q(t)=1-P(t) и Ф(-z)=-Ф(z):

где N – число комплектов вкладышей в чистовой группе клетей со стороны валков;

Ф – нормированная функция Лапласа, т.е. функция распределения (см. табл. 1 прил.Б).

Возможное число отказавших комплектов вкладышей n₂ на интервале [50-60] сут, если были отказы в интервале [0-50] сут.

т.к. ,

P(t₂)=0,5

Возможное число отказов комплектов вкладышей n₃ на интервале [50-60] сут, если до отказов не было, найдем, используя график интенсивности отказов на рис.3.4.

Рис.3.4. График плотности распределения отказов

и интенсивности отказов для условий примера 3.1

Площадь под кривой интенсивности отказов на интервале [50-60] сут есть вероятность отказов вкладышей на этом интервале при условии, что до этого отказов не было. Тогда возможное число отказов комплектов вкладышей n₃ при использовании накопленой интенсивности отказов, определенной по площади ограниченной кривой , т.е. приближено в виде трапеции, будет равно

или, более точно, принимая во внимание формулу (3.12):