4.3. Нормальный закон

Нормальное распределение – это двухпараметрическое распределение (рис.4.3) с плотностью

, (4.5)

где m, s - параметры распределения.

Вероятность безотказной работы

(4.6)

где (t-m)/s = - квантиль нормированного распределения.

Вероятность попадания в интервал [a, b] выражается формулой

. (4.7)

Свойства функции Лапласа Ф(x):

1. Ф(0) = 0; 2.Ф(-x)=- Ф(x); 3. Ф(± )=±0,5.

Интенсивность отказов

(4.8)

где (u) - табличное значение (см. табл.2).

Рис.4.3. Нормальное распределение:

а – вероятность безотказной работы;

б – плотность вероятности отказов;

в – интенсивность отказов

Числовые характеристики распределения:

средняя наработка

T=Mx=m;

дисперсия

D=s²;

коэффициент вариации

коэффициент асимметрии А =0;

эксцесс E =0.

Строго говоря, в теории надежности должен использоваться усеченный (слева) нормальный закон (рис.4.4) с плотностью

(4.9)

так как наработки являются неотрицательными величинам, где

(4.10)

Вероятность безотказной работы

; (4.11)

Интенсивность отказов

. (4.12)

На графике рис.4.4 видно, что с увеличением срока эксплуатации интенсивность отказов растет, т.е. снижается надежность изделия.

Для усеченного нормального распределения при (m /s)>3 характеристики практически совпадают с нормальным распределением

m/s	1	2	3
C	1,189	1,023	1,001

Рис.4.4. Усеченное (слева) нормальное распределение:

а - вероятность безотказной работы;

б – плотность вероятности отказов;

в – интенсивность отказов

Поэтому широко используются более простые зависимости нормального распределения для стареющих элементов.

Пример 4.3. Ролики транспортного рольганга имеют наработки, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием m =350 сут и средним квадратичным отклонением =50 сут.

1. Найти вероятность безотказной работы роликов на 300 сут.

2. Построить график интенсивности отказов.

3. Если вероятность появления отказов в процессе эксплуатации не должна превышать 20%, то через какой период времени необходимо проводить их замену?

Решение.

Вероятность безотказной работы находим по формуле (4.6).

.

Функцию Лапласа F((t-m)/s) находим из табл. 1 прил. Б для функции нормированного нормального распределения. Построение графика интенсивности отказов осуществляем, используя формулу (4.8).

Так как из условия задачи вероятность отказа Q(t)=0,2, то вероятность безотказной работы P(t)=0,8.

Тогда табличное значение квантили нормального распределения равно (-0,842) из табл.3. прил.Б. Следовательно, замену роликов необходимо проводить через

Пример 4.4. Наработки шарнира универсального шпинделя описываются нормальным распределением с математическим ожиданием m=40 сут и средним квадратичным отклонением s=20 сут.

Определить, при какой величине m (s=const) и при какой величине s (m=const) будет обеспечена в межремонтный период t_p=30 сут вероятность отказа Q (t=30)=0,1.

Решение.

Для обеспечения заданной вероятности отказа (табл.3, прил.Б), тогда

отсюда

сут;

сут.

Следовательно, для обеспечения вероятности безотказной работы P(t=30)=0,9 необходимо выполнить мероприятия либо по повышению средней наработки шарнира универсального шпинделя в 1,4 раза, либо по снижению стандарта до 7,8 сут.

Как правило, повышение средней наработки связано с существенными затратами, направленными на повышение износостойкости.

Величина среднего квадратичного связана с нарушениями технологического процесса получения материала, процесса изготовления изделия и правил его технической эксплуатации.

Поэтому достижение более низких значений среднего квадратичного является следствием не только чисто технических, но и организационных мероприятий.