4.2. Экспоненциальный (показательный) закон

Так называют распределение (рис.4.2), для которого

(4.1)

Это однопараметрическое распределение с параметром l - интенсивность отказов. Ввиду своей простоты оно получило широкое распространение при исследованиях надежности машин. Но произвольное его использование может приводить к грубым ошибкам.

Для экспоненциального распределения:

плотность вероятности отказов

; (4.2)

интенсивность отказов

l(t) = l = Const; (4.3)

числовые характеристики:

T = Mx; (4.4)

Коэффициент асимметрии A=2.

Эксцесс Е=6.

Характерным признаком экспоненциального распределения является равенство коэффициента вариации  единице. Экспоненциальное распределение является распределением без последствий, так как l = Const , т.е. вероятность отказа в каждую последующую единицу времени остается неизменной сколько бы ни проработал безотказно элемент до данного момента времени. Но необходимо отметить, что вероятность безотказной работы с течением времени снижается, т.е. чем дальше рассматривается момент времени от начала эксплуатации, тем меньше вероятность того, что объект будет находиться в работоспособном состоянии (см. рис.4.2).

Но если объект не отказал к рассматриваемому моменту времени, то вероятность его отказа в последующую единицу времени будет та же, что и в начальный момент эксплуатации.

Пример 4.1. Наработка пружин механизма уравновешивания верхнего шпинделя имеет экспоненциальное распределение со средней наработкой Т =40 сут.

Построить график плотности данного распределения и функцию распределения.

Решение.

Построение графиков осуществляем, используя формулы (4.1) - (4.3) .

б

в

Рис.4.2. Экспоненциальное распределение:

a – вероятность безотказной работы;

б – плотность вероятности отказов;

в – интенсивность отказов

а

Плотность вероятности отказа (плотность функции распределения)

f(t=20)=15,2*10^-3;

f(t=30)=11,8*10^-3;

f(t=40)=9,2*10^-3;

f(t=50)=7,2*10^-3;

f(t=60)=5,6*10^-3;

f(t=70)=4,3*10^-3;

f(t=80)=3,4*10^-3.

Плотность отказа (функция распределения)

Q(t=20)=0,393;

Q(t=30)=0,528;

Q(t=40)=0,632;

Q(t=50)=0,713;

Q(t=60)=0,777;

Q(t=70)=0,826;

Q(t=80)=0,865.

Пример 4.2. В линии привода формирующих роликов моталки происходят внезапные отказы роликов.

Определить, в какой момент времени может быть обеспечена вероятность безотказной работы P(t) = 0,8, если в межремонтный период t = 30 сут вероятность отказа Q(t) = 0,632.

Решение.

Из-за отсутствия другой информации предполагаем, что наработки роликов описываются экспоненциальным распределением (отказы происходят внезапно).

Для экспоненциального распределения значение Q(t) = 0,632 соответствует моменту времени, равному средней наработке:

t_p=T.

Для экспоненциального распределения

,

отсюда

Тогда t=-30ln0,8 = 6,7 сут.