2.2. Оценивание показателей безотказности

на основе непараметрических методов

Оценку показателей безотказности можно получить и тогда, когда нам неизвестен вид закона распределения или известно, что распределение относится к классу возрастающей функции интенсивности отказов (ВФИ-распределение).

В этом случае оценивание осуществляют на основе непараметрических методов, одним из которых является метод множительной оценки показателей безотказности.

Начинают с вычисления функции распределения наработок непосредственно по упорядоченной статистической совокупности, в которой наработки до отказа и до цензурирования выстроены в порядке неубывания. Если значения наработки до цензурирования равны значениям наработки до отказа, то сначала указывается наработка до отказа, затем наработка до цензурирования.

Для каждой наработки до отказа t_i вычисляют оценки вероятности безотказной работы и вероятность отказа .

Вычисления при планах [NUN], [NUT] производят по формулам:

(2.28)

при плане [NUz] по формуле

, (2.29)

где N_к - число работоспособных изделий после отказа при наработке t_к;

. (2.30)

Точечное оценивание осуществляют по нижеследующим формулам:

– средняя наработка до отказа

, (2.31)

где =max(t_r, t_r) - наработка до отказа;

t_n - наработка до цензурирования;

; (2.32)

– гамма-процентная наработка

(2.33)

– вероятность безотказной работы

(2.34)

Определение НДГ средней наработки до отказа осуществляется по формуле:

(2.35)

Распределения с возрастающей функцией

интенсивности отказов (ВФИ- распределения)

Точечное оценивание средней наработки до отказа в случае ВФИ- распределения производят по приближённой формуле:

, (2.36)

где - точечная оценка гамма-процентной наработки до отказа при 0,368<g£0,6;

- вычисляется по формуле (2.33).

Определение НДГ средней наработки до отказа осуществляется по формуле:

; 0,368<g£0,6; (2.37)

, (2.38)

где к - наибольшее число, при котором

; (2.39)

S_к - суммарная наработка до к-го отказа

. (2.40)

Пример 2.5.

Имеется упорядоченная статистическая совокупность по наработкам карданного вала формирующего ролика 4*, 5, 6*, 7, 8, 9, 9, 10, 10*, 12, 12, 12*, 15, 21 (звездочкой обозначены наработки до цензурирования). Найти точечные оценки вероятности безотказной работы для наработки t=9 сут, точечную и НДГ средней наработки до отказа для q=0,9.

Решение.

Найдём точечную оценку средней наработки до отказа по формулам (2.29) - (2.32).

Q(5)=1/13=0,077; Q(7)=2/12=0,167; Q(8)=3/12=0,25;

Q(9)=4/12=0,333; Q(9)=5/12=0,417; Q(10)=6/12=0,5;

Q(12)=7/11=0,636; Q(12)=8/11=0,729; Q(15)=9/10=0,9;

=5 x (0,077-0)+7 x (0,167-0,077)+8 x (0,25-0,167)+9 x (0,333-0,25)+9 x (0,417-0,333)+10 x (0,5-0,417)+12 x (0,636-0,5)+12 x (0,729-0,636)+15 x (0,9-0,729)+21 x (1-0,9)=11,4 сут.

Нижнюю доверительную границу НДГ средней наработки найдём по формуле (2.35).

=0,077 х (5,4)²+0,09 х (- 4,4)²+0,038 х (-3,4)²+0,083 х (-2,4)²+0,084 х (-2,4)²+0,083 х (-1,4)²+0,136 х (0,6)²+0,093 х (0,6)²+0,171 х (3,6)²+0,1 х (9,6)²=17.

Найдём точечную оценку вероятности безотказной работы для наработки

t=7 сут и t=6 сут по формуле (2.29).

;

.

По формуле (2.34) найдём

.

Сравнивая полученные значения и с оценками, полученными в прим. 2.2, видим, что оценки средней наработки до отказа получаются несколько завышенными, а оценка вероятности безотказной работы - заниженной.

То есть отсутствие информации о законе распределения наработок до отказа снижает точность получаемых оценок.

Пример 2.6.

По условиям прим. 2.5, если известно, что мы имеем дело с ВФИ-распределением, найти точечные и НДГ оценки средней наработки до отказа и гамма-процентной наработки.

Решение.

Найдём точечную оценку средней наработки до отказа. Точечная оценка средней наработки до отказа находится по формулам (2.31), (2.33) и получена в прим. 2.5. В случае ВФИ- распределения можно воспользоваться формулами (2.36), (2.33).

сут.

Примем g=0,5, тогда Q(9)<1-0,5£ Q(10) и

.

Найдём точечную оценку гамма-процентной наработки g=0,8 по формулам (2.33):

.

Из прим. 2.5:

, Q(t_i)= Q(8)=0,25;

сут.

НДГ средней наработки до отказа и гамма-процентной наработки находим по формулам (2.37) - (2.40).

Для вычисления полагаем g =0,5.

Вычислим при q=0,9:

при

при

при

Поэтому выбираем к =6, тогда суммарная наработка по формуле (2.40)

сут.

сут.

Следовательно, НДГ средней наработки до отказа по формуле (2.37)

По формуле (2.38) вычислим Т_0,75 при q =0,9:

при

при

при

Поэтому выбираем к =2.

Тогда суммарная наработка

S₂=t₁+12t₂=5+12 х 7=89 сут;

сут.

Сравнивая полученные значения с результатами, полученными в прим. 2.2 и 2.5, видим, что дополнительная информация о характере интенсивности отказов повышает точность получаемых оценок.