Глава 2. Оценивание показателей безотказности
2.1. Оценивание показателей безотказности на основе
параметрических методов
Когда известен вид закона распределения наработки до отказа, то точечное и интервальное оценивание показателей безотказности осуществляется по нижеприведенным формулам в зависимости от вида распределения.
Экспоненциальное распределение
Точечное оценивание:
– средняя наработка
,
(2.1)
где
-
точечная оценка параметра экспоненциального
распределения;
– интенсивность отказов
;
(2.2)
– гамма-процентная наработка
;
(2.3)
– вероятность безотказной работы
.
(2.4)
Определение нижней доверительной границы (НДГ) средней наработки и гамма-процентной наработки при плане [NUN]:
;
(2.5)
;
(2.6)
при плане [NUT] N=r;
при плане [NUz] (N1)=N.
Пример 2.1.
При проведении исследований на надёжность карданного вала формирующего ролика моталки были получены следующие значения наработок в сутках: 1, 4, 26, 5, 15, 5, 8, 3, 12, 5. Найти точечные и интервальные оценки показателей безотказности в случае экспоненциального распределения.
Решение:
Используя формулы (2.1) и (2.3), найдем точечные оценки для:
средней наработки до отказа
сут;
гамма-процентной наработки для g=0,8
сут;
Используя формулы (2.5), (2.6), найдём НДГ для:
средней наработки до отказа для q =0,8
сут.;
значение
квантили
q;N
находим из табл. 5, прил. Б;
гамма-процентной наработки для ( g=0,8, q =0,8 )
сут.
То есть истинное значение средней наработки до отказа при доверительной вероятности q=0,8 не ниже 6,72 сут.
И если мы хотим обеспечить безопасную работу с вероятностью g=0,8, то необходимо осуществлять замену карданного вала через 1,5 сут либо иметь к этому моменту времени карданный вал, готовый к замене.
С другой стороны, такие значения показателей безотказности характеризуют крайне низкий уровень надёжности и требуется разработка технических решений по увеличению средней наработки до отказа.
Нормальное распределение
Точечное оценивание:
– средняя наработка
;
(2.7)
– гамма-процентная наработка
(2.8)
где u - значение квантили «u»порядка ;
– интенсивность отказов
;
(2.9)
– вероятность безотказной работы
,
(2.10)
где значение квантили “u” порядка g - из табл. 3, прил. Б;
значение функции j(z) - из табл. 2, прил. Б;
значение функции Лапласа F(z) - из табл. 1, прил. Б.
Определение нижней доверительной границы (НДГ) средней наработки до отказа и гамма-процентной наработки при плане [NUN]:
;
(2.11)
,
(2.12)
где tq ; (r1) -квантиль распределения Стьюдента (табл. 4, прил. Б);
kg ; q ; r -коэффициент, значения которого приведены в табл. 9, прил. Б;
при плане [NUN] r=N;
при
плане [NUz]
Пример 2.2.
При проведении испытаний на надёжность карданного вала формирующего ролика моталки по плану [NUz] было зафиксировано 4 плановых и 10 аварийных замен и получены следующие наработки после упорядочения исходной выборки 4*, 5, 6*, 7, 8, 9, 9, 10, 10*, 12, 12, 12*, 15, 21 (звездочкой обозначены наработки до цензурирования). Найти точечные и интервальные оценки показателей безотказности, если известно, что выборка описывается нормальным распределением.
Решение:
В соответствии с зависимостями (2.7)-(2.10) получим точечные оценки:
– средняя наработка до отказа
сут;
– гамма-процентная наработка для g=0,8,
значение квантили u0,8 находим из табл. 3, прил. Б;
– интенсивность отказов для t=7 сут
– вероятность безотказной работы для t=7 сут
Значение функции j(z) находим из табл. 2, значение функции Лапласа F(z) из табл. 1, прил. Б.
Найдём НДГ средней наработки до отказа и гамма-процентной наработки по зависимостям (2.11), (2.12) план [NUz], q =0,9, g=0,75.
сут;
сут.