5.2. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона является дискретным (рис.5.1) с распределением

(5.7)

где m_r=lt.

При m® распределение Пуассона приближается к нормальному (см. рис .5.1).

Среднее число отказов до момента времени t

(5.8)

Интенсивность отказов

h(t)=l, (5.9)

т.е. среднее число событий, появляющихся в единицу времени, есть величина постоянная.

Дисперсия

Коэффициент асимметрии

Эксцесс .

Коэффициент вариации

.

Параметр пуассоновского распределения m_r. равен одновременно математическому ожиданию и дисперсии случайной величины.

Распределение Пуассона позволяет подсчитать вероятность отказов менее r, или равных r, за определенный промежуток времени:

Рис.5.1. Распределение Пуассона

(5.10)

и вероятность отказов более r:

. (5.11)

Данные зависимости можно использовать для определения гарантированного количества запасных частей, предотвращающее их истощение за определенный промежуток времени.

Пример 5.2. По данным примера 5.1. определить гарантированное количество запасных частей на 1 месяц.

Решение.

Определяем вероятность того, что за месяц потребуется не более одной замены (r=1).

Из примера 5.1 _r=1,13.

То есть вероятность того, что потребуется только одна замена, не так высока и существует риск, равный 27%, что одного комплекта вкладышей окажется недостаточно для обеспечения работоспособного состояния.

Определим вероятность появления за месяц более 2 отказов:

То есть остается риск, равный 6%, что наличие двух комплектов вкладышей не обеспечит гарантированное работоспособное состояние.

При наличии 3 комплектов вероятность их истощения равна 0:

Поэтому возможная политика пополнения запасных комплектов вкладышей может состоять в следующем: с учетом времени на изготовление вкладышей создается их полугодовой запас в количестве 5 комплектов (см. пример 5.1). В дальнейшем не допускается снижение запаса комплектов вкладышей менее 3.

В общем случае принятие риска в 27, 6 или 0% определяется экономической составляющей потерь производства и требует соответствующего обоснования.

Пример 5.3. Наработки 6-й секции транспортного рольганга подчиняются экспоненциальному закону с параметром l =0,016.

1. Определить вероятность появления хотя бы одного отказа за 120 сут.

2. Определить вероятность появления за этот же срок не менее 2-х отказов.

Решение.

Если наработка на отказ имеет показательное распределение, то число отказов в заданном интервале описывается распределением Пуассона.

Подставляя исходные данные в формулу (5.10), получим значение вероятности появления хотя бы одного отказа

.

Вероятность появления не менее 2-х отказов получим из формулы (5.11).

Значение P(n(t)=n) можно находить из табл.7 прил.Б.

3. Восстанавливаемый элемент

с конечным временем восстановления

Предположим, что время восстановления элемента конечно и им пренебречь нельзя. Тогда последовательные интервалы безотказной работы, как и в предыдущем случае (мгновенное восстановление), обозначим через x₁, x₂,…x_n, а последовательные участки восстановления через h₁, h₂,…h_n.

Предполагаем, что все величины x_i и h_i независимы в совокупности:

P(x _i<t)=Q(t); Mx _i=T₁; Dx _i=s₁²;

P(h _i<t)=G(t); Mh _i=T₂; Dh _i=s₂².

В этом случае моменты отказов и моменты восстановлений не совпадают. Обозначим число отказов до момента t -n₁(t), число восстановлений до момента t - n₂(t). Тогда среднее число отказов и восстановлений

H₁(t)=Mn₁(t); H₂(t)=Mn₂(t).

Эти величины могут описываться формулами, аналогичными формулам предыдущего параграфа.

О

статочное время x_t определяется здесь несколько иначе:

x_t =0, если момент t попал на участок восстановления; в противном случае x_t есть время до первого после момента t отказа.

Тогда

(5.13)

есть величина, называемая коэффициентом готовности, характеризующая вероятность того, что в наугад взятый момент в стационарном режиме элемент будет исправен.

Для элемента с конечным временем восстановления важную роль играет еще одна характеристика, которую обычно называют суммарной наработкой S_t, - суммарное время работы элемента до момента t

(5.14)

Пусть h_x есть момент, в который суммарная наработка достигнет величины x, тогда справедлива следующая формула:

(5.15)

Пример 5.4. Средняя наработка линии привода валков прокатной клети Т = 30 сут. Среднее время восстановления работоспособного состояния линии привода валков T₂ = 0,1 сут.

Определить коэффициент готовности линии привода валков.

Решение.

Коэффициент готовности определяем по формуле (5.13).

Упражнения

1. Отказы в секции транспортного рольганга, состоящей из 20 роликов, происходят с интенсивностью l=0,04=const. Восстановление работоспособного состояния осуществляется путем замены ролика в сборе. Межремонтный период t_р=30 сут.

Определить вероятность появления хотя бы одного отказа в этот период. Определить вероятность появления одного отказа за тот же период.

2. Отказы в механизме уравновешивания шпинделей связаны с поломкой пружин и описываются экспоненциальным распределением с параметром l=0,05. Межремонтный период t_р=30 сут.

Определить необходимое количество пружин на год.

3. Отказы шарнира универсальных шпинделей рабочей клети прокатного стана описываются распределением Вейбулла с параметрами a=80 сут, b=3. Восстановление работоспособного состояния осуществляется путем замены комплекта вкладышей.

Определить необходимое количество комплектов вкладышей на 1 месяц.

4. В результате осуществления технических мероприятий было достигнуто повышение средней наработки комплекта вкладышей (данные примера 3) в 2 раза. Коэффициент вариации остался неизменным. Стоимость комплекта вкладышей возросла в 1,5 раза.

Определить, является ли эффективным проведенное мероприятие (без учета затрат на замену и потерь производства).

5. Для условий примера 3 затраты на восстановление работоспособного состояния шарнира универсального шпинделя составляют 10 усл.ед., потери производства 15 усл.ед. Стоимость комплекта вкладышей 200 усл.ед.

Определить, какие расходы можно понести на проведение мероприятий:

а) по повышению средней наработки в 2 раза.

и неизменном коэффициенте вариации.

б) по снижению коэффициента вариации в 2 раза

и неизменной средней наработки.

6. Наработки подшипника скольжения механизма уравновешивания шпинделей описываются экспоненциальным распределением с параметром l=0,02.

Установить, на сколько должна быть повышена средняя наработка до отказа, чтобы снизить расход подшипников за год в 2 раза.

7. Для условий примера 6 определить вероятность безотказной работы подшипника скольжения в межремонтный период t_р=60 сут до и после повышения средней наработки.

8. Средняя наработка комплекта вкладышей шарниров универсальных шпинделей линии привода валков Т=50 сут. Межремонтный период t=30 сут.

Определить гарантированное количество комплектов вкладышей на межремонтный период.

9. Ходовые колеса (в количестве 8 колес) механизма передвижения моста крана имеют среднюю наработку T=600 сут. Нижняя, доверительная граница средней наработки Т=500 сут при доверительной вероятности q=0,95.

Определить необходимое количество запасных колес на 1 год.

10. Медианное значение наработки подшипников скольжения в механизме уравновешивания шпинделей прокатки t=60 сут. Коэффициент вариации =0,35. Межремонтный период t=30 сут.

Определить необходимое количество запасных подшипников скольжения на межремонтный период.