Процедура проверки статистических гипотез

Для принятия решений о том, какую из гипотез (нулевую или альтернативную) следует принять, используют статистические критерии, которые включают в себя методы расчета определенного показателя, на основании которого принимается решение об отклонении или принятии гипотезы, а также правила (условия) принятия решения. Этот рассчитываемый показатель называется эмпирическим значением критерия. Найденное эмпирическое значение сравнивается с известным (например, заданным таблично) эталонным числом, называемым критическим значением критерия.

Будем придерживаться следующего правила отклонения гипотезы об отсутствии различий (Н₀) и принятии гипотезы о статистической достоверности различий (Н₁).

Правило отклонения Н₀ и принятия Н₁

Если эмпирическое значение критерия равняется критическому значению, соответствующему или превышает его, то Н₀ отклоняется, но мы еще не можем определенно принять Н_1.

Если эмпирическое значение критерия равняется критическому значению, соответствующему или превышает его, то Н₀ отклоняется и принимается Н_1.

Исключения: критерий знаков G, критерий Т Вилкоксона и критерий U Манна-Уитни. Для них устанавливаются обратные соотношения.

Критической областью называют область значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятия гипотезы – область значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Различают разные виды критических областей:

- правостороннюю критическую область, определяемую неравенством ;

- левостороннюю критическую область, определяемую неравенством ;

- двустороннюю критическую область, определяемую неравенствами , ( k ₂ > k ₁).

Мощность критерия. Важнейшей характеристикой любого статистического критерия является его мощность.

Мощность критерия – это его способность выявлять различия, если они есть. Иначе, это его способность отклонить нулевую гипотезу об отсутствии различий, если она неверна.

Ошибка, состоящая в том, что мы приняли нулевую гипотезу, в то время как она неверна , называется ошибкой 2 рода.

Вероятность ошибки второго рода статистического критерия обозначим как β, тогда величина 1–β будет мощностью критерия. Ясно, что мощность может принимать любые значения от 0 до 1. Чем ближе мощность к единице, тем эффективнее критерий.

Если обозначить вероятность ошибки второго рода (принятия неправильной нулевой гипотезы) β, то мощность критерия равна 1 – β. Следовательно, чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Поэтому после выбора уровня значимости следует строить критическую область так, чтобы мощность критерия была максимальной.

Основанием для выбора критерия может быть не только его мощность, но и другие его характеристики, а именно:

а) простота;

б) более широкий диапазон исследования (по отношению к данным, определенным по номинативной шкале, или по отношению к большим n);

в) применимость по отношению к неравным по объему выборкам;

г) большая информативность результатов.

6. Основные законы распределения

В процессе решения статистических задач часто требуется выполнить сравнение двух величин, одна из которых вычисляется на основе выборочных характеристик (оценок среднего, дисперсии и т.д.), а другая является значением функции распределения одной из статистик (или квантилью этой статистики – значением функции, обратной к функции распределения).

Наиболее распространенные статистики являются моделями типичных задач теории вероятностей, возникающих в практических ситуациях.