Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание
Пусть имеется симметричная пара двойственных задач:
Прямая задача |
Двойственная задача |
|
|
Связь между решениями прямой и двойственной задач может быть сформулирована следующими леммой и теоремами двойственности.
Лемма (основное неравенство теории двойственности). Если X − план исходной задачи, а Y − план двойственной задачи, то значение целевой функции исходной задачи при плане X всегда не превосходит значения целевой функции двойственной задачи при плане Y , то есть
или
.
Экономическое содержание неравенства означает, что для любых допустимых планов X и Y общая стоимость произведенной продукции не превосходит суммарной оценки ресурсов.
Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливается теоремами о двойственности.
Теорема
(Первая теорема двойственности):
Если одна из
двойственных задач имеет оптимальное
решение, то и другая также имеет
оптимальное решение. При этом значения
целевых функций для их оптимальных
планов
и
равны между собой, т.е.
Следствие 1. Для разрешимости одной из задач двойственной пары необходимо и достаточно, чтобы множество допустимых планов каждой из двойственных задач было не пусто.
Следствие 2. Если целевая функция одной из задач двойственной пары не ограничена, то другая задача двойственной пары не имеет планов.
Следствие
3.
Для
оптимальности планов
и
пары двойственных задач необходимо и
достаточно выполнение равенства
.
Следствие 4. Если в одной из двойственных задач нарушается единственность оптимального решения, то оптимальное решение двойственной задачи вырожденное.
Экономический смысл первой теоремы двойственности в том, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произведенной продукции равна суммарной оценке ресурсов.
Это означает, что двойственные оценки выступают инструментом балансировки затрат и результатов.
Теорема (Вторая теорема двойственности):
Для
оптимальности
допустимых решений прямой и двойственной
задач
и
необходимо и достаточно выполнение
следующих условий:
Экономически
первое
условие означает,
что если оценка
i-того
вида ресурса положительна в оптимальном
плане
,
то в оптимальном
плане этот ресурс используется полностью
.
Если же в
оптимальном плане этот ресурс используется
не полностью
,
то оценка
в оптимальном плане
равна нулю
.
Экономически
второе условие означает,
что если
производство
j-ого
продукта включено в оптимальный план
,
то оно в оптимальных оценках неубыточно
.
Если же производство убыточно (его
затратная цена превосходит цену
реализации)
,
то этот продукт не производится в
оптимальном плане
.
Геометрическая интерпретация двойственных задач
Если число переменных в прямой и двойственной задачах, образующих данную пару, равно двум, то, используя геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования, можно легко найти решение данной пары задач.
При этом имеет место один из следующих трех взаимно исключающих друг друга случаев: 1) обе задачи имеют планы; 2) план имеет только одна задача; 3) для каждой задачи двойственной пары множество планов пусто.
Задача. Составить к следующей задаче ЛП двойственную и найти решение обеих задач:
Решение. Двойственной задачей по отношению к исходной является следующая задача:
Как в исходной, так и в двойственной задаче число неизвестных равно двум. Следовательно, их решение можно найти, используя геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования (рис. 1 и 2).
Рис. 1. Рис. 2.
Из рис. 1 видно, что при всяком плане исходной задачи значение целевой функции не больше 46. Одновременно, как видно из рис. 2, значение целевой функции двойственной задачи при любом ее плане не меньше 46.
Таким образом, при любом плане исходной задачи значение целевой функции не превосходит значения целевой функции двойственной задачи при ее произвольном плане.
Как
видно из рис. 1, максимальное значение
целевая функция исходной задачи принимает
в точке В.
Следовательно,
является оптимальным планом, при котором
.
Минимальное
значение целевая функция двойственной
задачи принимает в точке Е
(рис. 2). Значит,
является оптимальным планом двойственной
задачи, при котором
.
Таким образом, значения целевых функций исходной и двойственной задач при их оптимальных планах равны между собой.