2.2.4. Теоремы о соединении типовых ветвей аисар и непрерывных звеньев

Теоремы о Z-передаточных функциях соединений ветвей АИСАР в случае, если частота дискретизации много больше частоты Котельникова и период дискретизации много меньше наибольшей из постоянных времени непрерывных частей ветвей, точно такие же, как и для привычных передаточных функций:

Рис.2.15. Рисунок из [2]. Обратим внимание на п.2 и п. 3. В случае Т → 0 , т.е. при достаточно малом периоде дискретизации W1W2(z) → W(z) = W1(z)W2(z) и схемы 2 и 3 становятся эквивалентными. Теорема 4 позволяет просмотреть значения непрерывной функции в промежутке между дискретами

Т.о. для цифрового моделирования каждое звено непрерывной САР можно в принципе заменить эквивалентной ветвью АИСАР, естественно, при достаточно высокой частоте дискретизации.

2.3. Алгоритм функционирования типовой ветви аисар

Имея Z-передаточную функцию нетрудно составить разностные уравнения, уже в самой записи которых содержится алгоритм, легко программируемый на цифровой ЭВМ.

Пример

Пусть Z-передаточная функция некоторого звена АИСАР имеет вид (это ветвь АИСАР, состоящая из дискретизатора, фиксатора и интегратора):

(2.8)

Тогда, изображение его выходного сигнала связано с изображением входного уравнением:

(2.9)

С учетом правой части (2.8) получим:

(2.10)

Или, учитывая, что домножение на z^-1 соответствует задержке соответствующей решетчатой функции на шаг дискретизации и переходя во временную область получим:

(2.11)

Уравнение (2.11) называется разностным. Оно определяет алгоритм преобразования сигнала звеном (2.8).

Как видно из (2.11), для реализации на цифровом процессоре алгоритма нужно иметь всего три ячейки памяти и вычислять текущее значение выходного сигнала y(iT) как сумму предыдущих значений входного сигнала, умноженного на коэффициент kT, и выходного сигнала звена.

Отметим, что математический аппарат описания типовых ветвей АИСАР Z-передаточными функциями является, также как и аппарат обычных p-передаточных функций, апостериорным. Это значит, что он описывает реакцию ветви или системы постфактум, т.е. в тех случаях, когда входное воздействие заранее известно на всем протяжении рассматриваемого временного интервала, в том числе и в случае его бесконечной длительности. В случае же поступления сигнала воздействия в режиме реального времени этот математический аппарат не работает, он и не предназначен для этого случая.

С другой стороны, разностные уравнения вида (2.11), которые нетрудно получить по Z-передаточной функции, позволяют описывать звено АИСАР не только апостериорно, но и в режиме реального (а также, естественно, замедленного или ускоренного) времени, т.е. при воздействии на звено неизвестных заранее сигналов, по мере поступления их значений.

Т.о., полезность аппарата Z-передаточных функций состоит не только в том, что с его помощью может быть определена реакция САР на пробный сигнал, что уже само по себе важно для оценки качества работы САР, но с помощью этого аппарата, получая Z-передаточную функцию звена или всей системы можно без труда записать и разностные уравнения, которые способны работать как апостериорно, так и в реальном времени.

Кроме того, отметим, что описание с помощью Z-передаточной функции сложной линейной системы, состоящей из взаимодействующих в двух направлениях элементов, влияющих на работу друг друга, позволяет построить на основе разностных уравнений ее структурную модель, состоящую только из однонаправленных элементов, что существенно упрощает и саму модель, и анализ исходной системы.