Раздел 4. Теория массового обслуживания.

Тема 4. Использование теории массового обслуживания в процессе моделирования.

Занятие 1. Моделирование природоохранных мероприятий на основе теории массового обслуживания.

Учебные вопросы:

1) Основные положения теории массового обслуживания

2) Одноканальная системе ^массового -обслуживания с -отка­зами.

3) Системы массового обслуживания с ожиданием

Время: 2 часа

ЛИТЕРАТУРА

1. Е.С. Вентцель Исследование операций М. Сов.Радио, 1972 сто 23В-2Б4

2. Ю.М. Коршунов Математические основы кибернетики М., Энергоиздат, 1987 стр. 468-476

1 Основные положения теории массового обслуживания

При исследовании ПОФ приходится сталкиваться с анализом своеобразных систем, называемых -системами массового обслуживания(СМО). Такие системы предназначены для выполнения какого-либо потока заявок (или требований), поступающих в СМО в какие-то, вообще говоря, моменты времени. Обслуживание поступившей заявки: продолжается некоторое время, после чего канал освобождается и готов к принятию следующей заявки. Случайный характер потока заявок приводит к тому, что в какие-то промежутки времени на входе СМО скапливается некоторое число заявок { они либо образуют очередь, либо покидают СМО не обслуженными);в другие же периоды система будет работать с перегрузкой, или вообще простаивать.

Каждая СМО, в зависимости от числа каналов и их производительности, а также от характера потока заявок обладает пропускной способностью, позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок. Предмет теории массового обслуживания установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, их производительностью, правилами работы СМО и эффективностью обслуживания.

В качестве характеристик эффективности обслуживания, в зависимости от условий задачи и целей исследования, мо­гут применяться различные величины и функции, например:

-среднее количество заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени;

- средний процент заявок, получивших отказ ы покидающих СМО не обслуженными;

-вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию;

-среднее время ожидания в очереди;

-среднее количество заявок, находящихся в очереди;

-средний доход, приносимый СМО в единицу времени и т.д.

Математический анализ работы СМО облегчается, если случайный процесс, протекающий в системе является Марконовским. Это означает, что все потоки событий переводящие систему из состояния в состояние, пуассоновскими (поток стационарен, без последствий, вероятность поступления более одного требования в единицу времени мала). Интервал времени Т между событиями в этом потоке есть величина случайная, распределённая по показательному закону:

f(t) = λ _* e^-λ*t , t > 0, (1)

Где λ - интенсивность потока событий.

Все существующие СМО в зависимости от характера решаемых задач и соответствующего порядка обслуживания зая­вок могут быть разделены на следующие три типа:

а) СМО с отказами, в которых заявки начинают обслужи­ваться: немедленно, если каналы свободны, либо получают отказ и теряются, если все каналы обслуживания заняты; •

6} СМО с ожиданием, в которой заявки выстраиваются в очередь, если каналы обслуживания заняты, и находятся в системе до тех пор, пока их не обслужат;

в) СМО с различными ограничениями на время пребывания заявки в системе.

К системам массового обслуживания с ожиданием относятся все системы ремонта, эксплуатации оборудования нефтегазового комплекса, транспортные системы и т.п., поэтому в лекции им уделено основное внимание.

2 Одноканальная система массового обслуживания с отказами

Рассмотрим простейшую из всех задач ТМО - задачу оптимизации функционирования одноканальной СМО с отказами. Пусть СМО состоит только из одного канала (n = 1) и на неё поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ, зависящей, в общем случае, от времени:

Заявка, заставшая канал занятым, получает -отказ и покидает систему. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени Тоб, распределённого по экспоненциальному закону с параметром μ:

(3)

Из этого следует, что поток обслуживании простейший, с интенсивностью μ

Требуется найти : P₀(t), P₁(t), P_oотк, q, A

- абсолютную пропускную способность СМО( А.);

- относительную пропускную способность CMO(q);

Система может находиться в одном из 2-х состояний:

- S₀ - канал обслуживания свободен,

- S₁ - занят.

Г рафик состояний системы показан на рисунке 1

P₀(t) P₁ (t)

Рисунок 1.

Из состояния S₀ в S₁ систему переводит поток заявок с интенсивностью λ; из S₁ в S₀ - *поток обслуживании" с интенсивностью μ Обозначим вероятности состояний P₀{t), P₁(t). Очевидно, для любого момента, времени t

P₀(t)+Pi(t)=l, (4)

Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы Имеем:

(5)

Правила составления уравнений Колмогорова: В левой части каждого уравнения стоит производная ве­роятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связанно с данным состоянием, если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак «плюс». Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующей данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.

Одно из уравнений является лишним, так как р₀ и p₁ связаны выражением (4). Отбросим второе уравнение и решим систему (5) с учётом (4) p₀(0) = 1

Графически это выражение отображено на рисунке 2

Рисунок 2

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность Р₀ -есть не что иное, как относительная пропускная способность q, p₀=q.

В пределе, при t—►∞, когда процесс обслуживагния уже установится, предельное значение относительной пропускной способности будет равно:

Зная относительную пропускную способность q, легко найти абсолютную А. Они связаны очевидным соотношением

(8)

В пределе при t—►∞

З ная q, легко найти вероятность отказа

Это не что иное, как средняя доля не обслуженных заявок среди поданных.

.3 Системы массового обслуживания с ожиданиям.

A. Рассмотрим СМО, состоящую из одного канала обслуживания (n=l), на которую поступает поток заявок с интенсивностью Л ; интенсивность обслуживания ft. Заявка поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим сначала, что "количество мест б очереди ограничено числом т, т.е. если заявка пришла в момент., когда в очереди уже стоит ш требований, она покидает систему не обслуженной, В дальнейшем-, если го устремить к бесконечности* можно получить характеристики системы без ограничений по длине очереди.

Будем нумеровать -состояния €МО по чн-слу заявок, -находящихся в системе(как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания) :

S₀ —канал свободен;

Si -канал занят, очереди нет;

S2 -канал занят одна заявка -стоит в очереди-;

S_k —канал занят к—1 заявок стоит в очереди,;

Зто - канал занят т-2 заявок стоит в очереди; Sm+i ~ канал занят m заявок стоит в очереди;

Граф состояний СМО показан на рисунке 3.

Рисунок 3

Пользуясь общим решением для схемы гибели и размножения запишем выражения предельных вероятностей состояний:

μ

Здесь р - приведённая интенсивность потока заявок.

Введя обозначение

, -формулы (10) упростятся.

Суммируя геометрическую прогрессию в -выражении -Р^.,

получим

что справедливо для р ф 1. -Тогда окончательно, формулы (11) примут вид:

(12)

Определим характеристики СМО: вероятность отказа., относительную и абсолютную пропускную способности, среднюю длину очереди, среднее число заявок, время обслуживания

Очевидно, заявка получает отказ только в случае, ко­гда канал занят л всели мест очереди тоже

Относительная пропускная способность

(14)

Абсолютная пропускная способность

Найдём среднее число заявок, находящихся в очереди. Это математическое ожидание дискретной случайной величины R — числа заявок, находящихся в очереди. r=M(R). Без вывода:

115)

Среднее время ожидания заявки в очереди:

С учетом (15) , т.е. среднее время пребывания заявки в системе (15),

При снятии ограничений на очередь, т.е. при

формулы (10—17) примут вид:

Б. Многоканальная СМО с ожиданием

Рассмотрим n-канальную СМО с ожиданием_т на которую поступает поток заявок с интенсивностью λ, интенсивность обслуживания (для одного канала) μ, число мест в очереди m.

Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой.

So -все каналы свобо деньг;

S₁ -один канал занят, остальные свободны;

S₂ –два канала заняты, остальные свободны;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S_k -к каналов занято остальные свободны;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sn-заняты все п каналов;

S_n+1- заняты п каналов, одна заявка стоит в очереди;

S_n+r- заняты все каналы, г заявок стоит в очереди;

S_m+n - заняты все каналы, m заявок стоит в очереди;

Граф состояний СМО показан на.рисунке 3

Рисунок 4.

Н апишем выражение для предельных вероятностей состояний сразу же обозначая

(18)

ний_г сразу же обозначая

Отсюда перейдём к нахождению основных характеристик эффективности обслуживания „ Поступившая заявка получает отказ, если заняты все п каналов "и "все m мест в очереди:

( 19)

Относительная пропускная способность, как всегда дополняет вероятность отказа до единицы:

Абсолютная пропускная погрешность СМО будет равна:

( 20)

Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени; вся же СМО обслуживает в среднем А заявок в это же время Деля одно на другое получим среднее число занятых каналов

Среднее число заявок, связанных с системой:

где r-среднее число заявок в очереди определяются:

в свою очередь

Среднее время ожидания заявки в очереди,

Среднее время прерывания заявки в системе

Выводы: Рассчитав основные характеристики СМО, и подставив им в соответствие экономические показатели, можно оптимизировать количество каналов и их пропускную способность. Аппарат ТМО может быть успешно применён не только духа обоснования организационной структуры систем обслуживания, но и для рационального выбора их технических характеристик. В ТМО много нерешённых проблем заслуживают внимания вопросы анализа CMО с равнотипными заявками и, значит, с разными средним временем их обслуживания.