Задания для самостоятельной работы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

8. Второй замечательный предел.

Непрерывность показательной функции и логарифмической функции , а также теорема о непрерывности сложной функции позволяют утверждать, что степенно-показательная функция непрерывна всюду в области определения и

.

Пример 1. Найти а) ; б) ; в) .

Решение. а) При основание , показатель . Поэтому

= .

б) При основание , показатель :

.

в) При основание , показатель :

.▲

Особый интерес представляют случаи, когда при вычислении предела степенно-показательной функции получаем неопределённость вида , или . Неопределённость вида (т.е. основание , а показатель ) раскрывается с помощью второго замечательного предела.

Теорема. Предельное значение функции при существует и равно e (второй замечательный предел):

(1)

Следствие 1. Второй замечательный предел можно записать и в виде

(2)

Пример 2. Вычислить = .

Решение. Здесь при основание , показатель , поэтому воспользуемся вторым замечательным пределом в форме (1):

▲

Пример 3. Вычислить = .

Решение. Здесь при основание , показатель , поэтому воспользуемся вторым замечательным пределом в форме (2):

.▲

Формулам (1) и (2) можно придать другой вид. При стремлении аргумента к некоторому значению основание , значит, его можно представить в виде , где  бесконечно малая в точке функция. Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом в виде (1) или (2), надо в показателе иметь бесконечно большую в точке функцию :

(3)

Пример 4. Вычислить = .

Решение. Основание при , здесь  бесконечно малая функция при . Чтобы воспользоваться формулой (3), надо в показателе поставить бесконечно большую функцию = :

,

так как .▲

Пример 5. Вычислить = .

Решение. Функция при , поэтому её можно представить в виде = , при :

, .

Значит, в показателе надо поставить = :

Здесь учтено, что ▲

Следствие 2. Предельное значение функции при существует и равно :

. (4)

В частности,

. (5)

Действительно,

.

Пример 6. Вычислить .

Решение. Аргумент логарифма представлен в виде суммы , где  бесконечно малая при функция. Чтобы воспользоваться формулой (5), надо логарифм разделить на :

.

Здесь ▲

Следствие 3. Предельное значение функции при существует и равно :

. (6)

В частности,

. (7)

Действительно, введём новую переменную , при . В силу формулы (4) получаем:

.

Пример 7. Найти .

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (7), надо в знаменателе записать бесконечно малую в точке функцию :

.▲

Пример 8. Найти .

Решение. Первый способ. Сначала представим числитель в виде , а затем воспользуемся теоремой о пределе произведения, формулой (7) и первым замечательным пределом:

.

Второй способ. В числителе вычтем и прибавим единицу, в результате приходим к разности пределов:

.

Найдем

и .

Теперь .

Пример 9. Найти .

Решение. Прежде всего преобразуем числитель к виду , прибавляя и вычитая единицу:

.

Остаётся вычислить

,

.

Значит, =1. ▲

Замечание. Неопределённости вида и научимся раскрывать позже с помощью правила Лопиталя.