Задания для самостоятельной работы.
Записать на языке неравенств и дать геометрическую интерпретацию
1)
при
,
2)
при
,
3)
при
,
4)
при
,
5) при .
Свойства пределов функций.
Теорема.
Пусть
функции
и
имеют пределы в точке
,
тогда функции
и
также имеют пределы в точке
,
причем
,
.
В
частности, для любого числа
.
Теорема.
Если
функции
и
имеют пределы в точке
и
,
то функция
также имеет предел в точке
,
причем
.
Теорема.
Пусть
существуют
и
;
тогда в точке
существует предел сложной функции
(композиции)
,
причем
.
Эта
теорема позволяет вычислять пределы,
переходя от переменной
к новой переменной
.
4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение. Функция называется бесконечно малой при , если
,
т.е.
функция
называется бесконечно
малой при
,
если для любого
существует такое
,
что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
Таким
образом, если функция
имеет
предельное значение
в точке
,
то есть
,
то справедливо соотношение
,
где
– бесконечна малая в точке
функция..
Определение.
Функция
называется бесконечно
большой при
,
если для любого
существует такое
,
что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
В этом случае будем писать
.
Заметим,
что функция
,
определенная и не равная нулю в некоторой
окрестности точки
,
кроме, быть может, точки
,
является бесконечно малой тогда и только
тогда, когда функция
при
является бесконечно большой.
Сумма
(разность) и частное бесконечно больших
функций не обязательно являются
бесконечно большими функциями. Например,
и
,
и
при
бесконечно большие функции, но их сумма
и при
не является бесконечно большой функцией.
При
вычислении
в случае, когда
и
бесконечно большие функции при
,
теоремы о пределе суммы и разности
функций неприменимы. В таких случаях
говорят, что при
выражение
представляет собой неопределенность
вида
или
.
С
аналогичной ситуацией можем столкннуться
при вычислении предела частного
.
Будем говорить, что отношение
представляет собой при
неопределенность
вида
,
если
и
бесконечно большие функции при
,
и
неопределенность
вида
,
если
и
бесконечно малые функции при
.
Вычисление пределов в этих случаях
называют “раскрытием
неопределенности”.
5. Некоторые приемы вычисления пределов
1) Неопределённость вида . Отношение многочленов.
Пример
1.
Покажем, что в каждой точке
бесконечной прямой функция
имеет предельное значение, равное
.
Решение.
Действительно,
в силу теоремы о пределе произведения
а в силу теоремы о пределе суммы
▲ Пример
2.
Найти предел алгебраической дроби
,
когда
а)
б)
в)
Решение. а). Согласно предыдущему
В силу теоремы о пределе частного (мы вправе её применить, т.к. предел знаменателя отличен от нуля) запишем:
б).
В этом случае
,
т.е. в точке
числитель
бесконечно малая функция.
Найдем
предел знаменателя:
В результате получаем бесконечно малую в точке функцию:
в).
Здесь в точке
числитель имеет конечный и отличный
от нуля предел:
а знаменатель в этой точке
бесконечно малая функция:
.
В результате получаем бесконечно большую
в точке
функцию:
▲
Пример
3.
Найти предел алгебраической дроби
при
Решение.
Т.к.
и
и
то получаем неопределённость вида
.
Непосредственно воспользоваться
теоремой о пределе частного не имеем
права. Поэтому сначала разложим квадратные
трёхчлены на множители и представим
дробь в виде
=
,
а затем (вспоминая, что в определении
предела функции аргумент
,
но
)
сократим на отличный от нуля множитель
.
Окончательно получаем
.▲
Пример
4.
Найти предел дроби
при
.
Решение
.
Здесь,
как и в предыдущем примере, в точке
и числитель, и знаменатель являются
бесконечно малыми функциями:
.
Поэтому
выделим в числителе и в знаменателе
множитель
,
с полным правом
(
но
)
сократим на него и перейдём к пределу:
.▲
Переходя к общему случаю, изучим поведение отношения двух многочленов
при
стремлении переменной
к конечному числу
.
Повторяя рассуждения, приведенные в
примере 1, легко получить, что предельное
значение многочлена в точке
существует и равно его частному значению
в этой точке:
Поэтому
в случае
имеем право воспользоваться теоремой
о пределе частного:
.
Если
,
но
,
то при приближении
к
отношение
неограниченно
увеличивается:
.
Нас
особенно интересует случай, когда и
,
и
,
т.е.
является нулем и числителя, и знаменателя.
Тогда
представляет собой неопределённость
вида
.
Согласно известной из алгебры теореме
Безу
многочлен,
который обращается в нуль при
,
делится без остатка на
(верно и обратное утверждение). Значит,
для раскрытия неопределённости надо и
в числителе, и в знаменателе выделить
«носитель нуля»
бесконечно малую в точке
функцию
,
а затем сократить на этот множитель.
Пример
5.
Вычислить
.
Решение.
И
в числителе, и в знаменателе «носителем
нуля» является множитель
.
Выделим этот множитель. В числителе
вынесем за скобки
и представим разность квадратов как
произведение разности первых степеней
на сумму первых степеней:
.
В
знаменателе разность кубов представим
как произведение разности первых
степеней на неполный квадрат суммы:
.
Получаем
.
После сокращения на множитель
остается
.▲
Пример
6.
Вычислить
.
Решение.
И
в числителе, и в знаменателе «носителем
нуля» является множитель
.
Выделим этот множитель в числителе:
.
Здесь сумма кубов представлена как произведение суммы первых степеней на неполный квадрат разности.
В
знаменателе
.
Получаем
.
После сокращения на множитель
остается
.▲
Пример
7.
Вычислить
.
Решение.
И
в числителе, и в знаменателе «носителем
нуля» является множитель
.
Выделим этот множитель в числителе:
В
знаменателе:
Значит,
.
Сокращаем
на множитель
и вычисляем предел:
▲
Пример
8.
Вычислить
.
Решение
В числителе множитель
можно выделить, разлагая
по биному Ньютона:
.
Тогда
.
После
сокращения на множитель
получаем
Пример
9.
Вычислить
Решение . И здесь воспользуемся биномом Ньютона:
.
Теперь легко выделить множитель и сократить на него:
▲