1. Предел функции.

Определение 1 (Гейне). Пусть функция определена на некотором интервале , кроме, быть может, точки . Число A называется пределом функции при , если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к и такой, что , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу :

.

Тот факт, что есть предел функции при (в точке ), будем записывать следующим образом:

.

Из определения следует, что значения функции в точках , лежащих вне некоторой окрестности точки , и значение функции в точке не влияют ни на существование, ни на величину предела функции в точке .

Пример 1. Покажем, что функция имеет предельное значение в каждой точке бесконечной прямой. В самом деле, для любой сходящейся к последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции имеет вид , т.е. сходится к . Значит, предельное значение функции в любой точке равно .▲

Пример 2. Функция в каждой точке бесконечной прямой имеет предельное значение . Действительно, пусть  любая сходящаяся к последовательность значений аргумента. Соответствующая последовательность значений функции имеет вид , т.е. сходится к . Значит, предельное значение функции в любой точке равно .▲

Пример 3. Найти предел функции (рис.1) в точке .

Решение. Будем рассматривать данную функцию в некоторой окрестности точки , например, на интервале . Функция определена всюду на указанном интервале, в том числе и в точке . Возьмем какую-нибудь последовательность значений аргумента , и рассмотрим соответствующую последовательность значений функции . На основании теорем о пределе последовательности имеем

.

Ввиду произвольности выбранной последовательности согласно определению предела функции в точке .▲

Пример 4. Найти предел функции (рис.2) в точке .

Решение. В точке функция не определена. Будем рассматривать функцию в некоторой окрестности точки , например, на интервале . Возьмем какую-нибудь последовательность значений аргумента сходящуюся к точке : и рассмотрим соответствующую последовательность значений функции :

.

На основании теорем о пределах последовательностей имеем

.

Ввиду произвольности выбранной последовательности согласно определению предела функции в точке получаем .

Заметим, что функции и тождественны всюду, кроме точки , где функция не определена.▲

Для того чтобы доказать, что функция не имеет предела в точке , достаточно указать какую-нибудь сходящуюся к последовательность значений аргумента чтобы соответствующая последовательность значений функции не имела предела (или указать такие две сходящиеся к последовательности и , что и имеют разные пределы).

Пример 5. Пусть (рис.3). Выяснить, существует ли .

Р ешение. Возьмем две последовательности значений аргумента и : и . Очевидно, , . В точках последовательности заданная функция принимает значение , а в точках последовательности  значение . Поэтому , , то есть . Значит, не существует. ▲

Определение 2 (Коши). Пусть функция определена на некотором интервале , кроме, быть может, точки . Число A называется пределом функции при , если для любого найдется такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Это определение коротко можно записать с помощью кванторов:

.

Пример 6. Показать, что .

Решение. Зададим произвольное . Мы должны найти такое , чтобы из неравенства вытекало неравенство . Преобразуем последнее неравенство:

Решая это неравенство относительно , находим . Значит, в качестве можно взять (или любое меньшее число). В самом деле,

,

а это согласно определению и означает, что .▲

Пример 7. Самостоятельно показать, что .▲