36. Загальне поняття тензора. Зв'язок тензорів з полілінійними формами

Загальне поняття тензора

Означення: Сукупність чисел називається тензором p-раз коваріантним та q-раз контраваріантним, якщо при переході від старого базису до нового ця сукупність змінюється за законом

,

Використовуючи поняття багатовимірної матриці поняття тензора можна сформулювати наступним чином:

Означення p-раз коваріантним та q-раз контраваріантним тензором називається така - вимірна матриця -го порядку , елементи якої при переході від старого базису до нового змінюється за законом, записаним вище.

Полілінійні форми та їх зв`язок з тензорами

полі лінійна функція, тобто функція лінійна по кожному з аргументів

… … … … … …

37. Приклади тензорів в алгебрі та геометрії

А) Озн. Тензор типу (0,0) називається інваріантом. Його компонентою є довільне дійсне число. Воно не змін. в усіх базисах. Це може бути, наприклад, розмірність простору.

Б) Символом Кронекера називається сукупність величин

В) Компоненти символу Кронекера утворюють тензор

При k=s .

Отже, символ Кронекера має одні і ті ж компоненти в усіх базисах.

Г) Гіперплощина

.

Нехай гіперплощина не проходить через початок координат. Тоді .

,

,

,

,

Числа називаються координатами гіперплощини.

Отже, сукупність координат гіперплощини утворює одновалентний коваріантний тензор.

Д) Гіперквадрика

Означення. Числа називаються двоіндексними координатами квадрики, а числа називаються одноіндексними координатами квадрики.

де , .

Отже, сукупність двохіндексних координат квадрики утворює двічі коваріантний тензор, а сукупність одно індексних координат квадрики утворює одновалентний коваріантний тензор.

38. Операції над тензорами; властивості тензорів

А) Сума двох тензорів однакової структури.

Означення. Сумою двох тензорів і однакового типу називається сукупність величин виду , кожна компонента якої рівна сумі відповідних координат тензорів.

Т еорема. Сума двох тензорів однакового типу є тензор того самого типу.

Означення. Нульовим тензором типу називається тензор, всі координати якого рівні 0.

Означення. Протилежним тенз. до т-ра називається такій т-р , координати якого є протилежними до відповідних координат т-ра .

Б) Добутком тензора на число називається сукупність величин, кожна компонента якої рівна добутку відповідних координат тензора на це число.

Теорема. Сукупність тензорів однакового типу утворює лінійний простір.

В)

,

Означення. Добутком двох тензорів і називається сукупність чисел, кожна компонента яких утворюється у результаті добутку координат тензору на відповідний компонент тензору .

Теорема. Добуток двох тензорів і є тензор типу .

Властивості добутку

Г) Згортки тензорів.

Означення. Операція, пов’язана з ототожненням довільних одного нижнього та одного верхнього індексів у тензорі, називається згорткою тензорів.

Теорема. Згорткою тензора типу є тензор типу .

Симетрування тензорів

Розглянемо суто коваріантний (або контрваріантний) тензор.

Означення Тензор називається симетричним за відокремленою парою індексів, якщо при перестановці цих індексів координати тензора не змінюються.

Наприклад

Означення Тензор називається симетричним, якщо він симетричний для будь-якої пари індексів.

Операція побудови для даного тензора симетричного називається операцією симетрування тензорів.

Альтернування тензорів

Озн. Кососиметричним (антисимет.) т-ром назив. такий т-р (суто коваріантний), якщо він змінює знак на протил. при непарній перестановці індексів і зберігає знак при парній перестановці індексів.

Означення Узагальненим символом Кронекера називається сукупність величин з однаковою кількістю верхніх та нижніх індексів , яка рівна:

• 1, якщо набір нижніх індексів є парною перестановкою різних індексів ;

• -1, якщо набір нижніх індексів є непарною перестановкою різних індексів ;

• 0, в усіх інших випадках.

Означення Операція побудови для даного тензора антисиметричного тензора називається операцією альтернування тензорів