Проективно-афінна площина та її афінні інваріанти
Тензори малої валентності Нехай - n-вим. Лін. Простір над полем p; - базис простору .Тоді : , , ,
Розгл.
ще один базис
-
новий.
,
,
…
А - матриця переходу від старого базису до нового.
,
;
:
,
Розглянемо
матрицю B
обернену до матриці A:
,
………………………..
Звідси правило: якщо при переході від старого базису до нового нові базисні в-ри вираж. через старі за доп. матриці, трансп. до м-ці переходу, то коор-ти вектора в новому базисі вираж. через його коор-ти в старому базисі за доп. м-ці оберненої до м-ці переходу.
В цьому випадку коор-ти довільного вектора перетв. протилежно до того, як перетв. базисні в-ри при переході від старого базису до нового. Коор-ти перетв. контраваріантно.
Озн.
Систему
n чисел
наз.
одновал.
контраваріантним тензором, якщо при
переході від старого до нового базису
це система чисел змін.
за законом
Самі ці числа називаються координатами тензора. Слово одновалентний означає в даному випадку один індекс, за допомогою якого нумеруються величини.
Розгл. лінійну функцію
Озн.:
наз.
координатами лін.
функції
- лінійні форми
Коор-ти лін. ф-ї змінюються коваріантно зі зміною базисних векторів.
Озн.:
Система
n чисел
наз.
одновал.
коваріантним тензором, якщо при переході
від старого базису до нового ця система
чисел змін.
за законом
Координати лінійної функції утворюють одновалентно коваріантний тензор.
Розгл.
множину всіх лін.
ф-й
в
.
Введемо на ній
дві операції: додавання
лін.
ф-ій
та множення на число.
Множина
всіх лін ф-ій
простору
утворює лін.
простір
,
якій наз.
спряженим до даного простору. Елементи
цього простору називаються ковекторами.
Базис спряженого простору також вибирається природним чином
-
Символ Кронекера
.
Аналогічно легко переконатися в тому,
що базисні ковектори змінюються за
законом
,
тобто
являють собою одновалентний контраваріантний
тензор.
Розгл. лінійний оператор
Ці величини утв. тензор валентності 2, 1 раз коваріантний і 1 раз контрваріантний.
Білінійна форма, задана на множині ковекторів.
,
Отже,
.
Сукупність
величин
утворюють тензор валентності 2, двічі
контрваріантний.
Трилінійна форма
– лінійна
по кожному з трьох аргументів.
,
,
,
де
Сукупність
величин
утворює тензор, причому тричі коваріантний.
Багатовимірні матриці
Можна
говорити про тензори валентності три
виду
Тензори, у яких є індекси зверху і знизу наз. змішаними. Тензори у яких відсутні верхні індекси називаються чисто коваріантними, а тензори у яких відсутні нижні індекси називаються чисто контраваріантними.
,
де
.
Очевидно,
що сукупність компонент
задає деякий числовий рядок, сукупність
компонент
-
деяку числову матрицю.
На
сукупність чисел
можна дивитися як на сукуп.,
яка утв.
наступним чином:
,
тобто це рядок, кожен елемент якого є
квадратною
матрицею.
Таку матрицю наз.
кубічною матрицею. Ця матриця має
елементів.
Озн.:
k- вим.
матрицею порядку n наз.
упорядк.
набір n штук
- вим.
матриць.
Довільний елемент k- вимірної матриці нумерують наступним чином: перший індекс є номером - вим. матриці, а інші вказ. на положення елемента у цій матриці.
Надавати повний перелік елементів k- вимірної матриці не зручно, оскільки цей процес досить громіздкий,а тому домовляються,що матриця задана,коли задано діапазон зміни всіх індексів k- вимірної матриці -
Розглянемо сукупність дійсних чисел
Очевідно,що
таких чисел буде
.
Ці числа можна трактувати також як
елементи деякої
- вимірної матриці
-го
порядку.
Означення: Сукупність чисел називається тензором p-раз коваріантним та q-раз контраваріантним, якщо при переході від старого базису до нового ця сукупність змінюється за законом
,
При
цьому
називається валентністю тензора, а сам
тензор називається тензором типу
.
Члени сукупності
при фіксованих індексах називаються
координатами (компонентами) тензора.
Суть виписаного вище закону полягає в тому,що кожний ніжній індекс тензора приймає участь один раз в перетворенні по схемі коваріантного тензора, а кожний верхній індекс - по схемі контраваріантного тензора.
Використовуючи поняття багатовимірної матриці поняття тензора можна сформулювати наступним чином:
Означення p-раз коваріантним та q-раз контраваріантним тензором називається така - вимірна матриця -го порядку , елементи якої при переході від старого базису до нового змінюється за законом, записаним вище.
При цьому елементи матриці є координатами (компонентами) тензора.
Означення Два тензори однакової структури називаються рівними, якщо рівні їх відповідні компоненти (координати).
Безпосередньо з означення випливає,що з рівності двох тензорів в одному базисі випливає їх рівність в іншому базисі.
Історики математики стверджують, що тензори вперше почали застосовувати в механіці та теорії пружності. А пов`язане їх введення з ім`ям Гамільтона Вільяма Ровена (1806-1865), який ввів це поняття, вивчаючи узагальнення поля комплексних чисел (кватерніони).