Пряма на проективній площині та різні способи її задання. Принцип двоїстості на проект. Площині. Подвійне відношення 4 точок прямої і 4 прямих пучка
Повний чотирикутник, властивості
Повним чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок загального положення і шести прямих, яким попарно належать ці точки, жодні три точки не є колінеарними.
Вказані точки – вершини чотирикутника, прямі – його сторони.
Чотирикутник з вершинами в точках A, B, C, D, і сторонами AB, BC, CD, DA, AC, BD. Сторони, які не містять спільної вершини називаються протилежними. Точки перетину протилежних сторін називаються діагональними точками, а прямі, що попарно з’єднують діагональні точки – діагоналями. P,Q,R – діагональні точки, PQ, QR, QP – діагоналі.
Теорема (гармонічна властивість повного чотиривершника)
На кожній діагоналі повного чотирикутника є гармонічна четвірка точок, яка утворена двома діагональними точками і точками перетину цієї діагоналі зі сторонами, які проходять через третю діагональну точку.
Наслідок
На кожній стороні повного чотирикутника є гармонічна четвірка точок.
Криві 2-ого порядку на проект. Площині. Полюси та поляри. Поляритет
Лінії другого порядку — геометричне місце точок на площині, декартові координати яких задаються рівнянням другого степеня.
де
хоча б один з коефіцієнтів
відмінний
від нуля.
Лінії другого порядку є конічними перерізами.
Поляра
Поляра т. P щодо невиродж. кривої 2-го порядку - безліч т. N, гармонічно сполучених з т. P щодо т. M1 і M2 перетину кривої 2-го порядку січними, що проходять через точку P.
Поляра є прямою лін.. Точку P наз. полюсом поляри. Всяка невирод. лінія 2-го порядку визн. біекцію точок проект. площини і безлічі її прямих - поляритет або полярне перетв..
Властивості
Якщо точка P лежить «поза» лінії 2-го порядку (тобто через точку P можна провести дві дотичні до лінії), то поляра проходить через точки дотику даної лінії з прямими, проведеними через точку P.
Якщо точка P лежить на кривій 2-го порядку, то поляра є прямою, дотичною до даної кривої в цій точці.
Якщо поляра т. P проходить через т. Q, то поляра т. Q проходить через т. Р.
Варіації і узагальнення
Аналогічно визнач. поляру деякої точки щодо невиродж. поверхні 2-го порядку.
Поняття поляри щодо лінії 2-го порядку узагальнюється на лінії n-го порядку. При цьому заданій точці площини ставиться у відповідність n-1 поляр щодо лінії n-го порядку. Перша з цих поляр є лінією порядку n-1, друга, що є полярою заданої точки відносно першої поляри, має порядок n-2 і т. Д. І, нарешті, (n-1) -я поляра є прямою лінією.
Проективні перетворення на проект. Прямій і проект. Площині; їх інваріанти
Теорема Дезарга на проект. Площині
Теорема Паскаля на проективній площині
Якщо шестикутник ABCDEF є вписаним в коло, то точки перетину протилежних сторін AB I DE, BC i EF, CD i FA належать одній прямій (прямій Паскаля).
Доведення. У курсі елементарної геометрії відома теорема.
Лема. Якщо шестикутник ABCDEF вписаний в коло і AB || DE, BC || EF, то CD || AF.
Для доведення теореми Паскаля розтанемо проективне перетворення яке переводить описане навколо шестикутника кало в коло, описане навколо відповідного шестикутника-образа, а точки перетину прямих АВ і DE, BC i EF – у нескінченно віддалені не власні точки. Отже, A`B` || D`E`, B`C` || E`F`. Тоді за лемою C`D` || A`F`. Отже, три пари протилежних сторін шестикутника-образа проективного перетворення перетинаються у трьох невласних точках, які належать невласній прямій. Оскільки при проективному перетворенні пряма переходить в пряму, то три точки перетину протилежних сторін шестикутника-праобраза, вписаного в коло-образ, належать одній прямій.
Відомо, що теорема Паскаля виконується і тоді коли вписаними є п’ятикутник, чотирикутник і трикутник.