Асимптотичні напрями квадрики, формули для їх знаходження
Діаметральна площина квадрики
Задача. Припустимо, що квадрика задана на 2-вимірній рівнянням
В цьому випадку спряжена гіперплощина для а буде прямою, яка називається діаметром кривої другого порядку.
Задача – знайти рівняння діаметра для кривої, заданої канонічним рівнянням.
Означення. Два діаметри деякої кривої другого порядку називають самоспряженими, якщо вони мають взаємоспряжені напрями.
Очевидно, що самоспряжені діаметри ділять пополам всі координати паралельні іншому діаметру. Очевидно, що можна узагальнити рівняння кривої для поверхні другого порядку і введене поняття діаметральної площини.
Основні класифікації квадрик в афінному та евклідовому просторі
Приклади класифікації квадрик в дво- та тривимірних афінному та евклідовому просторах
Квадрики на евкл. плоскости соответствуют случаю n =1, то есть являются кривыми. Обычно их наз. не квадриками, а кониками или коническими сечениями.
Квадрики в (3-мерном действительном) евкл. пространстве имеют размерность n =2 и наз. поверхностями 2-го порядка. Проведя ортогон. замену базиса, любую квадрику в евкл. пространстве можно привести к нормальной форме. В 3-мерном евкл. пространстве существует 17 таких форм. Из них 5 являются невырожденными (то есть соответствующая им билинейная форма Q является невырожденной). Вырожденные формы вкл. в себя плоскости, прямые, точки и даже квадрики без действительных точек.
Невырожденные действительные квадрики в евклидовом пространстве |
||
Эллипсоид |
x2a2+y2b2+z2c2=1 |
|
Эллиптический параболоид |
x2a2+y2b2−z=0 |
|
Гиперболический параболоид |
x2a2−y2b2−z=0 |
|
Однополостный гиперболоид |
x2a2+y2b2−z2c2=1 |
|
Двуполостный гиперболоид |
x2a2+y2b2−z2c2=−1 |
|
Означення проективного простору. Проективна пряма, площина. Проективна система координат
проективним простором називають множину елементами якої є прямі(одновимірні підпростори) деякого лінійного простору. Розділ математики, що вивчає проективні простори — проективна геометрія.
Проективна пряма інтерпретується як власний пучок прямих афінної площині з центром л початку афінної системи координат.Проективної прямої називається безліч всіх проходять через 0 прямих на площині. проективна пряма в проективних координатах задається лінійнимрівнянням, саме тим же рівнянням, що і відповідна аффинная пряма в однорідних координатах. Назад, будь лінійне однорідне рівняння в проективних координатах є рівнянням деякої прямої.Зазначені - інваріантні проективні прямі неперетинаються один з одним
проективної площини постулюється обов'язковий перетин двох різних прямих, замість аксіоми існування єдиної паралельної у геометрії Евкліда. Таким чином на проективній площині дві різні точки визначають пряму, дві різні прямі визначають точку. Часто, і історично, дійсна проективна площина розглядається як Евклідова площина з додаванням «прямої у нескінченності».
