16. Поняття про векторний добуток в n-вимірному евклідовому точковому просторі

Векторным произведением  или  двух векторов называется вектор  , который отвечает следующим условиям:

1)

2) вектор  нормальный к плоскости, построенной на векторах  и  ;

3) вектор  направлен так, что с его конца кратчайший поворот от вектора  к  происходит против часовой стрелки. Векторы  образуют правую тройку.

Векторное произведение имеет следующие геометрические свойства:

Его модуль равен площади паралл-мма на векторах   и  :

Поэтому площадь треугольника построенного на векторах   и  равна модулю половины векторного произведения этих векторов

Алгебраические свойства векторного произведения

1) векторное произв.   =0 в случае коллинеарности век-в или когда один из них =0;

2)

3)

4)

Вычисления векторного произведения в координатной форме:

17. Формули для обчислення об'єму паралелепіпеду

В загальному. Паралелепіпед — призма, основою для якої є паралелограм, і, кожна грань цього шестигранника — паралелограм.

Твердження

Причому виконуються умови :

18. Змішаний добуток векторів

Змішаний добуток в евклідовому n-вимірному просторі називають число ([a₁, a₂,…, a_n-1] * a_n ) яке рівне скалярному добутку векторного добутку [a₁, a₂,…, a_n-1] на вектор а_n.

Теорема для того щоб змішаний добуток був рівний нулю необхідно і достатньо щоб ці вектори були компланарні або лінійно залежні.

Теорема (про вираження змішаного добутку через координати) Якщо відносно деякого ортонормованого базису вектори що є компонентами мішаного добутку то змішаний добуток обчислюється визначником n-го порядку.

Властивості мішаного добутку:

В силу того, що векторний добуток антикомутативний, а скалярний добуток комутативний, то циклічна перестановка векторів в мішаному добутку не змінює його значення. Перестановка двох сусідніх векторів змінює знак на протилежний

19. Група рухів (переміщень) n-вимірного евклідового простору, її підгрупи

20. Поняття квадрики; властивості

Квадрика є узагальненим поняттям кривої або поверхні 2-ого порядку на випадок невимірного простору:

Причому не всі коефіцієнти = 0

ОЗН: При переході від одної афінної системи координат в іншу , квадрика перетворюється в квадрику.

Д-ня: Замінимо і у рівняння квадрики

Тобто

Тупо перемножуємо і підкреслюємо доданки , що входять до рівняння квадрики (там будуть коефіцієнти біля цих доданків просто)

21. Центр квадрики. Система рівнянь для обчислення центра квадрики

Теорема 114. При соответствующем выборе аффинной системы координат уравнение любой квадрики может быть приведено к одному из следующих видов:

 

       

Определение. Уравнения (2) – (4) называются нормальными видами уравнения квадрики.

Определение. Точка S называется центром симметрии (центром квадрики), если точка симметрична любой точке квадрики относительно S, тоже принадлежит квадрике.

Теорема 115. Если уравнение квадрики имеет вид (2) или (3), то S(), для которой является центром квадрики, m  n.

Следствие.  Все точки -мерной плоскости П_n-m, имеющей общее уравнение , (5) являются центрами квадрики (2) или (3); других центров квадрика не имеет.

Теорема 116. Квадрика вида (4) не имеет центров.

Согласно теоремам 115 и 116 для любой квадрики имеет место один и только один из следующих трех случаев:

1.  либо квадрика не имеет центра;

2.  либо квадрика имеет бесконечное множество центров, являющееся плоскостью центров П_n-m;

3.  либо квадрика имеет единственный центр – точку S (тогда она называется центральной).