13. Поняття про евклідів точковий простір; приклади.

Афінний простір А_{н ­}називається евклідовим точковим простором або просто евклідовим простором якщо зв’язаний з ним простір W­_n є евклідовим векторним простором і позначається Е_н .

Точки і вектори є основними об'єктами простору Е_н, а операції над ними називаються основними або невизначеними відношеннями. Природа основних об'єктів може бути будь-якою, потрібно лише, щоб основні відношення задовольняли аксіомам всіх п'яти груп. Все інші об'єкти і відношення визначаються через основні, а при доведенні теорем використовуються лише аксіоми і раніше доведені їх наслідки. Всі визначення і теореми, сформульовані для простору А_н вірні і для простору Е_н.

Означення. Афінна система координат в просторі Е_н називається прямокутною декартовою, якщо її координатні вектори e_i, i=1,2.3,..n , утворюють ортонормований базис, пов'язаного з ним евклидового векторного простору V_n.

Теорема 1: при переході від однієї з двох прямокутних декартових систем координат до іншої координати x_i довільної точки у старій системі виражаються через її координати x_i` в новій системі координат формулами:

Де тобто матриці ортогональні.

14. Пдск в n-вимірному евклідовому точковому просторі

Афінний простір  називається евклідовим точковим або просто евклідовим простором, якщо звязаний з ним простір  являється евклідовим векторним простором і позначається .

Афінна система координат в просторі  називається прямокутною декартовою, якщо її координатні вектори  ,  , утворюють ортонормований базис, звязаного з ним евклідового векторного простору  .

Теорема:

при переході від одної з двох прямокутних декартових систем координат до іншої координати  довільної точки в старій системі виражаються через її координати  в новій системі координат формулами:

   (1)

де  (тобто матриці ортогональні).

15. Скалярний добуток, його вираження через координати. Визначник Грама

Визначення в евклідовому просторі

В лінійній алгебрі скалярний добуток двох векторів

    і   

-вимірного евклідового простору дорівнює сумі добутків координат векторів:

Норма векторів

Обчислення кута

В евклідовому просторі виконується наступна рівність:

Властивості

• Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто  , у випадку комплексних чисел єермітовим, тобто  .

• Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).

• Скалярний добуток дистрибутивний по відношенню до додавання та віднімання.

• В евклідовому просторі спряженим по відношенню до лінійного оператора A називається оператор A^*, для якого виконується рівність:   для довільних x, y.

Визначник Грамма

Оскільки Базис не ортонормований

Визначник матриці Gramma називається Визначник Gramma

ТЕОРЕМА

Визначник грама завжди > або = 0 Причому = 0 коли вектори

e₁ …e_n-Лінійно-залежні

Оскільки визначник грама для Базис вектора то він завжди > 0

Приклад

Визначник грама

Розглянемо

Теорема 1

Визначник грама для 2 векторної площини = квадрату паралелограма побудованого на цих векторах

Аналогічно в інших вимірах зі зміною розмірності матриці