7. Ранг матриці. Знаходження жорданової форми за допомогою рангу

Ранг матриці — порядок найбільших відмінних від нуля мінорів цієї матриці (такі мінори називаються базисними).

Обчислення рангу матриці

Основними методами обчислення рангу матриці є методи оточення мінорів (теоретичний) і метод елементарних перетворень (практичний).

Метод оточення мінорів полягає в тому, що в ненульовій матриці шукається довільний базисний мінор.

Метод елементарних перетворень полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень знаходиться деяка максимальна лінійно незалежна система рядків матриці. Можливо із зведенням матриці до трикутного вигляду (метод Гаусса).

Знаходження ЖНФ матриці

Для знаходження ЖНФ необхідно:

• Обчислити характеристичний многочлен матриці, знайти всі власні числа та їхні кратності

• Для кожного власного числа   матриці знайти кількість   клітин Жордана   , що входять до ЖНФ матриці  . Для цього потрібно обчислювати числа   доти , доки для деякого   не виконається рівність  . Після цього необхідно скористатись формулою  .

• Побудувати ЖНФ матриці   як блочно-діагональну матрицю, діагональ якої складають клітини Жордана  , де   пробігає всі власні числа матриці  , і кожна з клітин   зустрічається рівно  ;

8. Поняття про н вимірний афінний простір та його найпростіші властивості.

Властивості

9. Аск в просторі Аn та найпростіші задачі в ній.

10. Поняттяпро к вимірну площину та різні способи її задання. Рівняння прямої та гіперплощини в Аn.

Система (n-k) взаємно незалежних лінійних рівнянь із змінними (x₁, x₂, … , x_n) визначає k-вимірну площину n-вимірного евклідового простору.

(n-1) - вимірні площини у n-вимірному просторі називаються гіперплощинами.

В n-вимірному просторі рівняння гіперплощини матиме вигляд:

Cx₁+ Cx₂ +…+ Cx_n-1=K

Або

Cx₁+ Cx₂ +…+ Cx_n-1+K=0

Де С-довільні коефіцієнти, K - будь-яке число.

В n-вимірному просторі канонічне рівняння прямої матиме вигляд:

Якщо відомо координати точки А(x₀, y₀, z₀,…), що лежить на прямій, та координати напрямного вектора N={a,b,c,...}, то можна записати р-ня прямої у канонічному вигляді:

В n-вимірному просторі параметричне рівняння прямої матиме вигляд:

Де (x₀, y₀, z₀,…) – координати точки, що лежить на прямій, {l;m;n;…} – координати напрямного вектора прямої.

11. Взаємне розташування двох площин q-вимірної та p-вимірної в Аn.

12. Афінні перетворення та їх задання .Поняття про групу афінних перетворень.

Определение. Преобразование плоскости называется аффинным , если:

• оно взаимно однозначно;

• образом любой прямой является прямая.

Преобразование называется взаимно однозначным, если:

• разные точки переходят в разные;

• в каждую точку переходит какая-то точка.

Свойства аффинного преобразования в трехмерном пространстве:

• отображает n-мерный объект в n-мерный: точку в точку, линию в линию, поверхность в поверхность;

• сохраняет параллельность линий и плоскостей;

• сохраняет пропорции параллельных объектов – длин отрезков на параллельных прямых и площадей на параллельных плоскостях.

Любое аффинное преобразование задается матрицей 3x3 с ненулевым определителем и вектором переноса:

R представляет собой матрицу линейного оператора над пространством трехмерных векторов. Вектор T требуется для осуществления параллельного переноса: если помножить ( 0  0  0 ) на любую матрицу 3x3, опять получим ( 0  0  0 ) – начало системы координат, относительно преобразования R, является неподвижно точкой. Требование, чтобы определитель был ненулевой, диктуется определением. По сути, если определитель матрицы R равен нулю, то всё пространство переходит в плоскость, прямую или точку. Тем самым не соблюдается взаимная однозначность.

На практике удобно задавать аффинное преобразование одной матрицей. Аффинное преобразование будет задаваться следующей матрицей 4x4:

Заметим, что первые три значения последней строки равны 0. Это необходимое условие того, что преобразование будет аффинным. В общем случае произвольная матрица размера 4x4 задает проективное преобразование.