5. Жорданова форма матриці

Матриця виду назив. жорд. кліткою із власним значенням λ.

Матриця де блоки на діагоналі — жорданові клітки, називається жордановою матрицею.

Для довільної квадратної матриці A над алгебраїчно замкнутим полем k завжди існує така квадратна невироджена матриця C над k, що J=C⁻¹AC є жордановою матрицею (інакше кажучи A подібна у k деякій жордановій матриці).

Матриця J=C⁻¹AC, вказана вище, називається жордановою формою (або жордановою нормальною формою) матриці A.

Жорданова форма матриці визначена не однозначно, а з точністю до порядку жорданових кліток. Точніше, дві жорданові матриці подібні у k у тому і лише в тому випадку, коли вони складені з одних і тих же жорданових кліток і відрізняються один від одного лише розташуванням цих кліток на головній діагоналі.

Алгоритм побудови жорданової нормальної форми квадратної матриці.

Припустимо, що задається квадратна матриця A порядку n

.

Ставиться задача побудувати жорданову нормальну форму матриці A.

1 крок. Від усіх елементів на головній діагоналі матриці A віднімається змінна λ і одержується характеристична матриця AλE матриці A:

2 крок. Матриця AλE зводиться до канонічного вигляду B(λ) як λ-матриця.

3 крок. Припустимо, що канонічна матриця B(λ) має такий вигляд

Тоді в даному випадку всі інваріантні многочлени e₁(), e₂(),…, e_n() ненульові. Припустимо, що

Тобто ст 0, ст 0, , ст 0. Для кожного з многочленів ненульового степеня e_k+1(), e_k+2(),…, e_n() одержується канонічний розклад в добуток лінійних множників.

4 крок. Припустимо, що – канонічний розклад многочлена e_j() в добуток лінійних множників при k  j  n. Тоді ₁, ₂,…,_s  всі попарно різні корені многочлена e_j(). Кожен з многочленів , , називається інваріантним множником матриці A. Кожному інваріантному множнику (1  i  s) в заключній жордановій матриці відповідає жорданова клітинка порядку n_i з параметром _i

Таким чином, даному інваріантному многочлену e_j() в заключній жордановій матриці відповідають s жорданових клітинок порядків n₁, n₂,…,n_s з параметрами ₁, ₂,…,_s відповідно.

5 крок. Одержавши всі жорданові клітинки для кожного з многочленів ненульового степеня , будується заключна матриця J таким чином. Вздовж головної діагоналі послідовно розміщуються всі одержані жорданові клітинки, а всі інші елементи беруться рівними 0. Як правило, клітинки розміщуються за зростанням порядку, але порядок розміщення клітинок може бути будь-яким. Одержується заключна жорданова матриця J, яка є жордановою нормальною формою матриці A.

6. Алгоритм знаходження базису із серій

Нехай A - лінійний оператор на векторному просторі V над полем F, dim V= n, у даному базисі простору оператору A відповідає матриця Ставиться задача знайти жорданів базис оператора A та жорданову матрицю J оператора в цьому базисі. Для визначеності вважаємо, що всі вектори задаються координатами в початковому базисі .

1 крок. Складається характеристичний многочлен оператора і знаходяться всі корені цього многочлена. Припускаємо, що многочлен має лише єдиний корінь , причому , тобто . Це означає, що параметром усіх жорданових клітинок заключної жорданової матриці J є число .

2 крок. Розгляд переноситься на лінійний операторB =A  ₀E , де E – одиничний оператор. ОператорB нільпотентний, у початковому базисі оператору B відповідає матриця B=A  E. Жорданів базис оператора B є жордановим базисом для A та навпаки. Отже, далі знаходиться жорданів базис оператора B =A  ₀E .

3 крок. Знаходиться показник нільпотентності k оператора B. Для цього береться послідовність матриць така, що k – мінімальний ступінь, для якого нульова матриця. Показник нільпотентності k означає, що у заключній жордановій матриці J максимальний порядок жорданової клітинки дорівнює k.

4 крок. Розглядається послідовність підпросторів M₀, M₁, …, , таких, що M_i = Ker B ⁱ Оскільки вважається, щоB ⁰ =E , то M₀ = . З того, що k – показник нільпотентності оператора B випливає, що B ^k =O , B ^{k -1} O , … , B ¹ O , B ⁰ O, а тому і при цьому виконуються включення = M₀ M₁  Будемо називати висотою вектора мінімальне натуральне число h таке, що B ^h Оскільки B ^k=O , то . Складаються початкові базиси підпросторів за наступними правилами. Оскільки M₀ = , в підпросторі M₀ базису немає. Будується довільний базис Б₁ підпростору M₁ = Ker B . Для цього береться деяка фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь порядку n з основною матрицею системи B. Зрозуміло, що висота кожного вектора в базисі Б₁ дорівнює 1. Далі система векторів Б₁ доповнюється до базису Б₂ підпростору M₂. Для цього, наприклад, можна знайти довільний базис M₂, як фундаментальну систему розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь з основною матрицею та з цього базису взяти відповідну кількість векторів з урахуванням умови лінійної незалежності. Зрозуміло, що усі доповнюючі вектори висоти 2. Далі система Б₂ аналогічним чином доповнюється до початкового базису Б₃ підпростору M_3. Продовжуючи цей процес, одержується послідовність початкових базисів Б₁, Б₂, …, , підпросторів M₁, …, , відповідно і при цьому Б₁ Б₂ … . Базис підпростору є базисом простору V. Він складається з системи та доповнюючих векторів. Висота кожного вектора, що доповнює базис до , дорівнює k. Висота кожного вектора з базису не більше k1.

5 крок. Будується жорданів базис. Для цього складається послідовність ланцюжків (серій) векторів за наступними правилами. На першому кроці для кожного вектора c висоти k з базису складається серія з k векторів c, B ( c), B ² ( c) ,… ,B ^{k -1} ( c) з початковим вектором c. Оскільки висота вектора c дорівнює k, то серія складається з ненульових векторів. При цьому зрозуміло, що під дією оператора B кожен вектор переводиться у вектор з висотою, меншою на одиницю. Отже, векторам серії c, B ( c), B ² ( c),…,B ^{k -1} ( c) відповідають висоти k, k1, k2, …, 1. При цьому , B ( c) , B ² ( c) ,…,B ^{k -1} ( c) Система векторів, яка складається з усіх побудованих серій, лінійно незалежна. Далі, якщо потрібно, на другому кроці нові серії будуються за наступними правилами. Береться початковий базис підпростору , з кожної побудованої серії береться вектор висоти k1. Одержується лінійно незалежна система у підпросторі і далі ця система доповнюється до базису . Доповнюючі вектори можна взяти, наприклад, з початкового базису підпростору . Висота кожного доповнюючого вектора d дорівнює k 1, і далі для кожного такого вектора складається ланцюжок(серія) з k 1 векторів d, B ( d), B ² ( d),…,B ^{k -2} ( d). Вектори усіх серій, побудованих на першому та другому кроках, лінійно незалежні. Припускаємо, що зроблено j (1j<k) кроків будування серій. На j+1 кроці береться початковий базис підпростору , з кожної серії береться вектор висоти kj, одержується лінійно незалежна система в підпросторі , ця система доповнюється до базису векторами, наприклад, з початкового базису підпростору і для кожного з додатково взятих векторів z складається серія з kj векторів z, B ( z), B ² ( z),… ,B ^{k –j–1} ( z). Вектори всіх побудованих серій на всіх кроках лінійно незалежні. Процес будування серій завершується, коли вектори всіх побудованих серій разом утворюють базис простору. Це виконується, коли число векторів у всіх побудованих на даний крок серіях співпадає з розмірністю простору.

6 крок. Жорданів базис складається з усіх побудованих серій. Вектори впорядковуються наступним чином. У кожній серії вектори розташовуються у зворотньому порядку ( у кожній серії початковий вектор береться останнім ). Кожна серія у базисі розташовується єдиним блоком.

7 крок. Жорданова нормальна форма матриці А визначається наступним чином. Оскільки характеристичний многочлен має єдиний корінь , то кожна жорданова клітинка у матриці є клітинкою з параметром . Кожній серії векторів у базисі відповідає одна клітинка. Порядок клітинки строго дорівнює довжині серії. Порядок розташування клітинок строго відповідає порядку розміщення серій в базисі.