1_ Оо ав уй dggy dgpa

_А g g g _дхо _дхо •

Легко видеть, что эта величина существенно-отрицательна. Дей­ствительно, выбирая пространственную систему координат, ко-

') Подчеркнем, однако, что все сказанное не влияет на вывод уравнений поля из принципа наименьшего действия (§ 95). Эти уравнения получаются уже в результате требования экстремума действия (т. е. исчезновения его первой вариации), а не обязательно минимума. Поэтому при их выводе можно подвергать варьированию все компоненты gtt независимо.

торая была бы декартовой в данной точке пространства в дан­ный момент времени (так что g_a<i — g^a^⁼⁼—б_ав), получим:

¹ „оо^еУ

4 ^й \ дх° J '

и поскольку g°° = 1/goo > 0, то знак этой величины очевиден.

Достаточно быстрым изменением компонент g_a$ со временем х° (в промежутке между двумя пределами интегрирования по йх°) можно, следовательно, сделать величину — G сколь угодно большой. Если бы постоянная k была отрицательной, то дейст­вие при этом неограниченно уменьшалось бы (принимая сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значе­ния), т. е. не могло бы иметь минимума.

§ 94. Тензор энергии-импульса

В § 32 было получено общее правило для вычисления тен­зора энергии-импульса любой физической системы, действие ко­торой представлено в виде интеграла (32,1) по 4-пространству. В криволинейных координатах этот интеграл должен быть напи­сан в виде

S = ^\A^/~gdQ (94,1)

(в галилеевых координатах g — —\ и S переходит в -j ^ Л dV dl).

Интегрирование производится по всему (трехмерному) простран­ству и по времени между двумя заданными моментами, т. е. по бесконечной области 4-пространства, заключенной между двумя гиперповерхностями.

Как уже было указано в § 32, тензор энергии-импульса, определенный по формуле (32,5), не является, вообще говоря, симметричным, каким он должен быть. Для того чтобы сделать его симметричным, необходимо было прибавить к выражению

(32,5) надлежащим образом подобранный член вида 1р_ш,

дх¹

причем гр_ш = — Ъик-

Мы дадим теперь другой способ вычисления тензора энер­гии-импульса, обладающий тем преимуществом, что он сразу приводит к симметричному выражению.

Произведем в (94,1) преобразование от координат х' к ко­ординатам х^п — х' + I', где |' — малые величины. При этом преобразовании компоненты g^ik преобразуются согласно фор­мулам

^{g К} ' ^ ^g дх^т ^⁸ дх¹'

Тензор g'^ik является здесь функцией от х", а тензор g^ik— функ­цией прежних координат х¹. Для того чтобы представить все члены в виде функций от одних и тех же переменных, разложим g' '* (x^l -f-19 ^по степеням Далее, пренебрегая членами выс­шего порядка по мы можем в членах, содержащих |', напи­сать g^ik вместо g'^ik. Таким образом, находим:

Легко убедиться путем непосредственной проверки, что по­следние три члена справа могут быть написаны в виде суммы * + контравариантных производных от Таким образом, находим окончательно преобразование g^iH в виде

g^/'**=-'*+V\ 6g^f* = S'^S* +6*". (94,2)

Для ковариантных компонент имеем при этом:

(так, чтобы с точностью до величин первого порядка малости соблюдалось условие g'_ng'^kl — b^k) ').

•) Отметим, что уравнения

определяют те инфинитезимальные преобразования координат, которые не меняют данной метрики. В литературе их часто называют уравнениями Киллинга.

Поскольку действие S есть скаляр, то при преобразовании координат оно не меняется. С другой стороны, изменение 55 действия при преобразовании координат можно написать в сле­дующем виде. Пусть, как и в § 32, q обозначают величины, определяющие ту физическую систему, к которой относится действие 5. При преобразовании координат величины q меня­ются на 6<7. При вычислении 65 можно, однако, не писать чле­нов, связанных с изменениями q. Все эти члены все равно взаимно сокращаются в силу «уравнений движения» физической системы, поскольку эти уравнения как раз и получаются путем приравнивания нулю вариации S по величинам q. Поэтому до­статочно писать только члены, связанные с изменением gik. Вос­пользовавшись, как обычно, теоремой Гаусса и полагая на гра­

ницах интегрирования 6g'* = 0, находим SS в виде¹)

с \ ^ dg^ik дх¹ ₀ dg^ik

^ikdQ.

Введем теперь обозначение

(94,4)

тогда 6S примет вид ²)^

65 =

^{J T}_lk^{bglk У- gdQ}

-^\тЧ_ё{Ьл/-_ёаа (94,5)

(замечаем, что g^ik&gik = —gik6g^ik и потому Т^1кЬцш = —Tikbg^lk). Подставляя сюда для 6g^tk выражение (94,2), имеем, воспользо­вавшись симметрией тензора Г,*:

^{\ T}_lk ^{{V- k +6* <) У- gdQ = \ J T}_lk^{%h к Л^1<Я2.}

Далее преобразуем это выражение следующим образомз

6S

^{= у S к ^gdQ - \ 1 Т\} _к^{\1 У-g dQ. (94,6)}

') Необходимо подчеркнуть, что введенное здесь обозначение производ­ных по компонентам симметричного тензора go, имеет, в некотором смысле, символический характер. Именно, производные dF/dgn, (F— некоторая функ­ция от git) имеют, по существу, смысл лишь как выражающие тот факт,

что dF = — dg_ik. Но в сумму —— dg_fk члены с дифференциалами

dgtk каждой из компонент с i Ф k входят дважды. Поэтому при дифферен­цировании конкретного выражения F по какой-либо определенной компонен­те gik с i ф k мы получили бы величину, вдвое большую, чем то, что мы обозначаем посредством dFldgik. Это замечание необходимо иметь в виду, если придавать определенные значения индексам «', k в формулах, в которые входят производные по gik.

²) В рассматриваемом случае десять величин dgik не независимы, так как являются результатом преобразования координат, которых имеется всего четыре. Поэтому из равенства 6S нулю отнюдь не следует, что Тш = 01

Первый интеграл с помощью (86,9) может быть написан в виде

^{и преобразован в интеграл по гиперповерхности. Поскольку на границах интегрирования |' обращаются в нуль, то этот инте­грал исчезает. Таким образом, приравнивая 6S нулю, находим:}

fls = - j^Tf; ,л' V^zri^ = o.

Ввиду произвольности £' отсюда следует, что

Tl_ik = 0. (94,7)

Сравнивая это уравнение с уравнением (32,4) дТ_1к/дх^к — О, имевшим место в галилеевых координатах, мы видим, что тензор Tik, определяемый формулой (94,4), должен быть отождествлен с тензором энергии-импульса, — по крайней мере с точностью до постоянного множителя. Что этот множитель равен единице, легко проверить, производя, например, вычисление по формуле (94,4) для случая электромагнитного поля, когда

^Л = —ШГ ^р*^р1к 15Г V^я.

Таким образом, формула (94,4) дает возможность вычислить тензор энергии-импульса путем дифференцирования Л по ком­понентам метрического тензора (и их производным). При этом тензор Tik получается сразу в явно симметричном виде. Фор­мула (94,4) удобна для вычисления тензора энергии-импульса не только в случае наличия гравитационного поля, но и при его отсутствии, когда метрический тензор не имеет самостоятельного смысла и переход к криволинейным координатам производится формально как промежуточный этап при вычислении Tik.

Выражение (33,1) для тензора энергии-импульса электро­магнитного поля должно быть написано в криволинейных коор­динатах в виде

^г«=iH-^F«^F* + т ^Fi'«^Flms«) • <⁹⁴-⁸)

Для макроскопических же тел тензор энергии-импульса равен (ср. (35,2)):

T_ik = (p + E)it_iUk — pg_ik. (94,9)

Отметим, что компонента Too всегда положительна'):

Г₀₀>0 (94,10)

') Действительно, имеем Т_т = ги\ + р (к², — g₀₀). Первый член, очевидно, положителен. Во втором же члене пишем:

„ - „ „о -и „ - goo + goa ^dx*

и после простого преобразования получим gwP(dllds)², где dl — элемент про­странственного расстояния (84,6); отсюда видно, что и второй член в Т_оа положителен. В том же самом легко убедиться и для тензора (94,8),

(смешанная же компонента Го не имеет, вообще говоря, опре­деленного знака).

Задача

Рассмотреть возможные типы приведения к каноническому виду сим­метричного тензора второго ранга.

Решение. Приведение симметричного тензора Л;_й к главным осям озна­чает нахождение таких «собственных векторов» для которых

V^fc = 4- <»)

Соответствующие главные значения к получаются как корни уравнения 4-й степени

и являются инвариантами тензора. Как величины к, так и соответствующие им собственные векторы могут оказаться комплексными. (Компоненты же самого тензора Аъ предполагаются, разумеется, вещественными.)

Из уравнений (1) легко показать обычным путем, что два вектора n\V и nf\ соответствующих двум различным главным значениям Х<'> и Я⁽²>, взаимно ортогональны:

п⁽/У²>^г = 0. (3)

В частности, если уравнение (2) имеет комплексно-сопряженные корни к и X*, которым соответствуют комплексно-сопряженные векторы n_t и n_t, то должно быть

п,л'* = 0. (4)

Тензор An, выражается через свои главные значения и соответствующие собственные векторы формулой

к -4- (5)

(если только какое-либо из n_tn^l не равно нулю — см. ниже).

В зависимости от характера корней уравнения (2) могут иметь место следующие три различных случая.

I) Все четыре главных значения к вещественны. При этом вещественны также и векторы п', а поскольку все они взаимно ортогональны, то три из них должны иметь пространственное, а один — временное направление (их можно нормировать соответственно условиями п^¹ = —1 и л^л' = l). Вьь брав направления осей координат вдоль этих векторов, приведем тензор к виду

«о> ООО 0 -к^{1) 0 0

о о -я<²> о ⁽⁶⁾

о о о --я⁽³⁾

II) Уравнение (2) имеет два вещественных (А,<²⁾, Я<³') и два комплекс- но-сопряженных (к' ± ik") корня. Комплексно-сопряженные векторы n_t, я_£, соответствующие двум последним корням, напишем в виде at ± ibr, по- скольку они определены лишь с точностью до произвольного комплексного множителя, можно нормировать их условием п^¹ = п\п ' = 1. Учитывая

также (4), найдем для вещественных векторов щ, bi условия: 0^4-*^ = О, а^=0, а_га'-6^=1,

откуда <w^l = 1/2, bib' = —1/2, т. е. один из этих векторов имеет времен­ное, а другой — пространственное направление¹). Выбрав координатные оси вдоль векторов а', Ъ\ п^<2>', я⁽³⁾', приведем (согласно (5)), тензор к виду

(Я' X" О О

X^я — Я' о о о о -я<²> о ООО -я⁽³⁾

III) Если квадрат одного из векторов я* равен нулю (п^и' = 0), то этот вектор не может быть выбран в качестве направления координатной оси. Можно, однако, выбрать одну из плоскостей х°х^а так, чтобы вектор п* лежал в ней. Пусть это будет плоскость хРх¹. Тогда из п^п¹ — 0 следует, что п° = п¹ и из уравнений (1) имеем:

АюЧ-Аи = Я, Л,_в + /4_и = —Я,

откуда

A₀₀ = X + \i, An — — Я-Vn, <4oi = —

_{° \}

_о

-я<³>/

где р. — неинвариантная величина, меняющаяся при поворотах в плоскости Л¹; должным поворотом она всегда может быть сделана вещественной. Выбирая оси х², х^а по двум другим (пространственным) векторам л^<2>', rt<^s>', приведем тензор к виду

(Я + ц — ц О

-М- -Я + ц О о о - я⁽²⁾ О 0 0

Этот случай соответствует равенству двух корней (Я^<0), Я<'>) уравнения (2).

Отметим, что для физического тензора энергии-импульса Т_1к вещества, движущегося со скоростями; меньшими скорости света, может иметь место лишь первый случай; это связано с тем, что всегда должна существовать такая система отсчета, в которой поток энергии вещества, т. е. компоненты Т_а0, равен нулю. Для тензора же энергии-импульса электромагнитных волн имеет место третий случай с Я = Я^<2) = Я<³> = 0 (ср. стр. 115); можно показать, что в противном случае существовала бы система отсчета, в ко­торой поток энергии превышал умноженную на с ее плотность.