§ 13. Упругие столкновения частиц

Рассмотрим, с точки зрения релятивистской механики, упру­гое столкновение частиц. Обозначим импульсы и энергии двух сталкивающихся частиц (с массами т, и т₂) через р_ь <8_Х и р₂, 8г\ значения величин после столкновения будем отмечать штрихом.

Законы сохранения энергии и импульса при столкновении можно записать вместе в виде уравнения сохранения 4-импульса:

Р[ + Р2 = Р? + Р?' (13,1)

Составим из этого 4-векторного уравнения инвариантные соот­ношения, которые будут удобными для дальнейших вычисле­ний. Для этого перепишем (13,1) в виде

Р[ + Р1-Р\¹ = р'г¹

и возведем обе стороны равенства в квадрат (т. е. напишем их скалярные произведения самих на себя). Замечая, что квадраты 4-импульсов р{ и р[¹ равны т\, а квадраты р^{₂ и р₂ равны т\, получим:

mⁱ_l + PuPi-Pi_iP?-P2iP?⁼⁼=°- (13,2)

Аналогичным образом, возведя в квадрат равенство р[-\-р\ — — Р₂ — Р{¹> получим:

< + РиР¹2 ~ P2iP'2 ~ РиР2 = 0- <¹³>³)

Рассмотрим столкновение в системе отсчета (л-система), в которой до столкновения одна из частиц (частица т%) по­коилась. Тогда Р2 = 0, 8₂ — т.2 и фигурирующие в (13,2) ска­лярные произведения равны

р_ир₂ = 8\т₂, p2.pi' = т₂8[> (13 4)

Рмр'х = 8\Ш\ — pipi == 8\Ш\ — р%р\ cos0j>

где 8i — угол рассеяния налетающей частицы гп\. Подставив эти выражения в (13,2), получим:

-cose.^^^+^T^—^!. (13,5)

Аналогичным образом из (13,3) найдем:

_Cose₂=^^{1 + m2)(}5--^, (13,6)

Р1Р2

где 62 — угол, образуемый импульсом отдачи р'₂ с имтгульеом на­летающей частицы pi.

Формулы (13,5—6) связывают углы рассеяния обеих частиц в л-системе с изменениями их энергии при столкновениях. Обра­щая эти формулы, можно выразить энергии 8\, 82 через угол 8,

или 6₂. Так, подставив в (13,6) pi = ^8\ — ^ти Р2 — V— ml и возведя равенство в квадрат, после простого вычисления по­лучим:

■ ^2==m2(^+m₂)²-(^-^)cos²e₂ * ^(13,7)

Обращение же формулы (13,5) приводит в общем случае к весь­ма громоздкому выражению 8\ через 8р

Отметим, что если т\ > т₂, т. е. налетающая частица тяже­лее покоящейся, то угол рассеяния 9, не может превышать не­которого максимального значения. Элементарным вычислением легко найти, что это значение определяется равенством

sine_lmax = -J, (13,8)

в точности совпадающим с известным классическим результатом.

Формулы (13,5—6) упрощаются в случае, когда налетающая частица обладает равной нулю массой: mi == 0, и соответственно Р1 — &1, Pi —8г Выпишем для этого случая формулу для энергии налетающей частицы после столкновения, выраженной через угол ее отклонения:

= —IT' <¹³'⁹>

1 - cos 0, +

Вернемся снова к общему случаю столкновения частиц лю­бых масс. Наиболее просто столкновение выглядит в ц-системе. Отмечая значения величин в этой системе дополнительным ин­дексом 0, имеем здесь рю =—Р20 = Ро. В силу сохранения импульса, импульсы обеих частиц при столкновении только пово­рачиваются, оставаясь равными по величине и противополож­ными по направлению. В силу же сохранения энергии абсолют­ные значения каждого из импульсов остаются неизменными.

Обозначим через % угол рассеяния в ^-системе — угол, на который поворачиваются при столкновении имлульсы рю и р₂о. Этой величиной полностью определяется процесс рассеяния в системе центра инерции, а потому и во всякой другой системе отсчета. Ее удобно выбрать также и при описании столкновения в л-системе в качестве того единственного параметра, который остается неопределенным после учета законов сохранения энер­гии и импульса.

Выразим через этот параметр конечные энергии обеих частиц в л-системе. Для этого вернемся к соотношению (13,2), но на этот раз раскроем произведение р_ир\¹ в ^-системе:

РчР? = ^SЛ - PioPio = — pgcos% = p2(l — cos x) + m\

(в 1{-системе энергия каждой из частиц при столкновении не ме­няется: S'_w = &₁₀). Остальные же два произведения раскрываем по-прежнему в л-системе, т. е. берем из (13,4). В результате получим:

^{<Г( — &}_х ^{= — — (1 — cosx).}

Остается выразить р\ через величины, относящиеся к л-системе. Это легко сделать путем приравнивания значений инварианта р_ир!₂ в ц- я л-системах:

%> v$>20 — РюРго = <$ 1Щ, или

j(Pl + m*)(pl + ^mi) -Sf^-pl. Решая это уравнение относительно р\, получим:

Таким образом, окончательно имеем:

пи (<£-. — тТ\

*К = *1 -г! Л _{0 х} (1-cosx). (13,11)

т\ + т., + 2m₂© j

Энергия второй частицы получается из закона сохранения: ё\-\-

+ /«2 ⁼ + ^2' П°^ЭТ0МУ

/и, (<Г² — т²)

&'_а = т₂+ „^{{ l)} (1-cosx). (13,12)

т' + т₂ + 2т₂$_х

Вторые члены в этих формулах представляют собой энергию, теряемую первой и приобретаемую второй частицей. Наиболь­шая передача энергии получается при % = п и равна

_t , 2т.₂ (g\ — т²)

<$1 max— m₂=S\ — <B'lmin==—5~; Ъ~~, Z~ ' (13,13)

т\ + т._г -f 2от₂© j

Отношение минимальной кинетической энергии налетающей частицы после столкновения к ее первоначальной кинетической энергии:

^Z^i= 2^(И'Г^т2)2 ■ (13,14)

8₁ — т_х т\-\- ш₂ + 2т₂8_х

В предельном случае малых скоростей (когда 8 ты т-\- mv²/2) это отношение стремится к постоянному пределу, равному

( т, — т₂ \²

\ И] + Я! /

В обратном же пределе больших энергий <?Г, отношение (13,14) стремится к нулю; к постоянному же пределу стремится сама величина <§?{mm. Этот предел равен

т|+т²

Предположим, что /гаг > m_t, т. е. масса налетающей частицы мала по сравнению с массой покоившейся частицы. Согласно классической механике при этом легкая частица могла бы пере­дать тяжелой только ничтожную часть своей энергии (см. I § 17). Такое положение не имеет, однако, места в релятивист­ской теории. Из формулы (13,14) видно, что при достаточно больших энергиях 8_Х доля переданной энергии может достичь порядка 1. Для этого, однако, недостаточно, чтобы скорость частицы т\ была порядка 1, а необходимы, как легко видеть, энергии

т. е. легкая частица должна обладать энергией порядка энергии покоя тяжелой частицы.

Аналогичное положение имеет место при т₂ <С т\, т. е. когда тяжелая частица налетает на легкую. И здесь, согласно класси­ческой механике, происходила бы лишь незначительная пере­дача энергии. Доля передаваемой энергии начинает становиться значительной только начиная от энергий

<81 •

т₂

Отметим, что и здесь речь идет не просто о скоростях порядка скорости света, а об энергиях, больших по сравнению с пц, т. е. об ультрарелятивистском случае.

За дачи

1. На рис. 4 треугольника ЛВС образован вектором импульса р₍ нале­тающей частицы и импульсами р,, р₂ обеих частиц после столкновения. Найти геометрическое место точек С, соответствующих всем возможным зна­чениям ру, Р₂.

•Решение. Искомая кривая представляет собой Эллипс, полуоси кото­рого могут быть найдены непосредственно с помощью формул, полученных*

в задаче 1 к § 11. Действительно, произведенное там построение представ­ляет собой нахождение геометрического места концов векторов р в л-системе, получающихся из произвольно направленных векторов р₀ с заданной дли­ной р_а в «{-системе.

Учитывая, что абсолютные величины импульсов сталкивающихся частиц в q-системе одинаковы и яе меняются при столкновении, мы имеем дело в данном случае с аналогичным построением для вектора р₄, для которого в а-снстеие

m_tV

где У — скорость частицы т% в ((-системе, совпадающая по величине со скоростью центра инерции, равной V = pj(9\ + Щ) (см. (11,4)). В резуль­тате найдем, что малая и большая полуоси эллипса равны

Ро =

т₂р,

р*

m_ip_l (<Г| + m_t)

т\ -f- т\ + 2т₂&₁

>l-V²

{первое из этих выражений совпадает, конечно, с (13.10)).

При ©j = 0 вектор р| совпадает с р^ так что расстояние АВ равно Ри Сравнивая pi с удвоенной большой полуосью эллипса, легко убедиться, что точка А лежит вне эллипса, если т_х > т₂ (рис. 4, а) и внутри него врш mi < т₂ (рис. 4, б).

2. Определить минимальный угол разлета e_min частиц после столкво-вения, если массы обеих частиц одинаковы (mi = т₂ = т).

в_п

Решение. При thi = т₂ точка А диаг­раммы лежит на эллипсе, а минимальному углу разлета соответствует положение точки С в конце малой полуоси (рис. 5). Из построения ясно, что tg(e_min/2) дается отношением длин полуосей, и мы находим:

2т

+ т '

cos e_mj_n = ■

— т

массы tn выразит»

т,

3. Для столкновения двух частиц одинаковой #2> X через угол рассеяния в л-системе 6i. Решение. Обращение формулы (13,5) дает в этом случае: я,/ _ {Si + tn) + {Si — от) cos' 8|

ч ■

Г, + от) — (&_л — т) cos* в, _ , (ff²-от²) sin* 6, ^{@2 т+} 2т + {Si - т) sin² в, * Сравнивая с выражением S\ через %:

S\=S

■ 1 — т

(1 — cos х),

cos % = ■

найдем угол рассеяния в ц-системе:

2т - {Si + 3/п) sin² 8,

2m + {$i — т) sin² 9, '