§ 105. Гравитационное поле вдали от тел

Рассмотрим стационарное гравитационное поле на больших расстояниях г от создающего его тела и определим первые чле­ны его разложения по степеням 1/г.

Вдали от тела поле слабое. Это значит, что метрика про­странства-времени здесь почти галилеева, т. е. можно выбрать такую систему отсчета, в которой компоненты метрического тен­зора почти равны своим галилеевым значениям:

g»»«=l, gg> = 0, Л = -««»■ (Ю5.1)

Соответственно этому представим g_ik в виде

gik = gfk⁾ + h_ik, (105,2)

где Ы_к — малые поправки, определяющие гравитационное поле.

Оперируя с тензором hik, условимся в дальнейшем подни­мать и опускать его индексы с помощью «невозмущенной» ме­трики: h^k — g^mklhu и т. п. При этом необходимо отличать А'* от поправок в контравариантных компонентах метрического тен­зора g^ik. Последние определяются решением уравнений

gug^lk = (g?Uh_u)g^tk = 6^kr,

так, с точностью до величин второго порядка малости находим: g^ik=g^ikv»-h^ik + h\ti^k. (105,3)

С той же точностью определитель метрического тензора

g = g^W(l + h + ±h²-± hint), (105,4)

где h е= h\.

Сразу же подчеркнем, что условие малости 1ц_к отнюдь не фиксирует однозначного выбора системы отсчета. Если это уело­вие выполнено в какой-либо одной системе, то оно будет выпол­нено и после любого преобразования х'¹ = х¹ + \¹, где £'— малые величины. Согласно (94,3) тензор ft,* переходит при этом в

^ = ^-|^-ff. (105,5)

где li = gfkl^k (ввиду постоянства gfl ковариантные производ­ные в (94,3) сводятся в данном случае к обычным производ­ным)¹).

В первом приближении, с точностью до членов порядка 1/г, малые добавки к галилеевым значениям даются соответствую­щими членами разложения центрально-симметричной метрики Шварцшильда. В соответствии с отмеченной неопределенностью в выборе (галиеевой на бесконечности) системы отсчета, кон­кретный вид hik зависит при этом от cnocq6a определения ра­диальной координаты г. Так, если шварцшильдова метрика пред­ставлена в виде (100,14), первые члены ее разложения при боль­ших г даются выражением (100,18). Перейдя в нем от сфериче­ских пространственных координат к декартовым (для чего надо заменить dr = n_adjr^a, где п—единичный вектор в направлении г), получим следующие значения:

С = --у-, /£р = --7-«а"_й, ЛЙ=0, (105,6)

где r_g — 2km/с^{2 2}).

Среди членов второго порядка, пропорциональных 1/г², име­ются члены двоякого порисхождения. Часть членов возникает в результате нелинейности уравнений Эйнштейна из членов пер­вого порядка. Поскольку последние зависят только от массы (но не от каких-либо других характеристик) тела, то только от нее же зависят и эти члены второго порядка. Ясно поэтому, что и эти члены можно получить путем разложения шварцшильдо­вой метрики. В тех же координатах найдем:

^& 2г *

А$ = 0, Ла_Р = -(-7-)\я|». (105,7)

Остальные члены второго порядка возникают как соответ­ствующие решения линеаризованных уравнений поля. Имея в виду также и дальнейшие применения, произведем линеариза­цию уравнений, выписывая сначала формулы в более общем виде, чем понадобится здесь, — не учитывая сразу стационар­ности поля.

При малых hik величины Г£/, выражающиеся через производ­ные от hik, тоже малы. Пренебрегая степенями выше первой, мы можем оставить в тензоре кривизны (92,1) только члены в первой скобке:

п 1 / d²h_im . д²пы d²hkm д²пц \ (\г\со\

*^Шт 2\дх^кдх¹ ^ дх¹дх^т dxW дх^кдх^т)' ^U ' '

Для тензора Риччи имеем с той же точностью: или

_ 1 ( _fmm d%_k &^h\ д% cfh \

^Rik~~E\^gm дх'дх^{т +} дх^кдх^{1 +} дх'дх' ~ дх'дхЧ' ^{(l ,9)}

Выражение (105,9) можно упростить, воспользовавшись оставшимся произволом в выборе системы отсчета. Именно, на­ложим на hik четыре (по числу произвольных функций |') до­полнительных условия

-~- = ⁰' ^ = Af-i-6?A. (105,10)

дх^& 2

Тогда последние три члена в (105,9) взаимно сокращаются и остается

^R*--T*'^mmi!Ek- . ⁽¹⁰⁵-^П)

В интересующем нас здесь стационарном случае, когда hi_k не зависят от времени, выражение (105,11) сводится к /?,* = = ^xl<2&hik, где Д — оператор Лапласа по трем пространственным координатам. Уравнения же Эйнштейна для поля в пустоте сво­дятся, таким образом, к уравнениям Лапласа

Д/1,_й = 0, (105,12)

с дополнительными условиями (105,10), принимающими вид

(л£-|/гб5) = 0, (105,13)

^Г^Ло=0. (105,14)

Обратим внимание на то, что эти условия все еще не фиксируют вполне однозначного выбора системы отсчета. Легко убедиться в том, что если h-,_k удовлетворяют условиям (105,13—14), то таким же условиям будут удовлетворять и h\k (105,5), если только |' удовлетворяют уравнениям

А|* = 0. (105,15)

Компонента hoo должна даваться скалярным решением трех­мерного уравнения Лапласа. Такое решение, пропорциональное

1/г², имеет, как известно, вида?—, где а — постоянный вектор.

Но член такого вида в hoo всегда может быть ликвидирован пу­тем простого смещения начала координат в члене первого по­рядка по 1/г. Таким образом, наличие такого члена свидетель­ствовало бы лишь о неудачном выборе начала координат и по­тому не представляет интереса.

Компоненты h_Qa даются векторным решением уравнения Лап­ласа, т. е. должны иметь вид

, _ . д 1

«0а— Лай _дхр

где л._ар — постоянный тензор. Условие (105,14) дает

• ^{32 1} =0,

^ар дх^адх& 1

откуда следует, что Я,_аВ должны иметь вид а_ар -f- %8_а$, где а_ав —

антисимметричный тензор. Но решение вида X — может

дх^а г

быть исключено преобразованием (105,5) с i° = V> i^a = 0 (удовлетворяющими условию (105,15)). Поэтому реальным смыслом обладает лишь решение

, _ а 1

Наконец, аналогичными, хотя и более громоздкими рассуж­дениями можно показать, что надлежащим преобразованием пространственных координат всегда можно исключить величины Л_аР, даваемые тензорным (симметричным по а, В) решением уравнения Лапласа.

Что касается тензора а_ар, то он связан с тензором полного момента M_aft, и окончательное выражение для Лод имеет вид ,_т 2k д 1 2k п_л

*® ~^М^Т⁼~-7^М^' ⁽¹⁰⁵'^1б)

Покажем это путем вычисления интеграла (96,17).

Момент М_а§ связан только с fto_a, и потому при вычислении все остальные компоненты hik можно считать отсутствующими. С точностью до членов первого порядка по ft^ имеем из

(96,2—3) (замечаем, что g^a0 = —h^a0 = А_а0, a —g отличается от 1 лишь на величины второго порядка):

При подстановке сюда (105,16) второй член под знаком произ­водной исчезает, а первый дает

с д² 1 С ЗПаП_ч — 6_flv

8я ^Y дх^дх"¹ г Ы ^Y г³

С помощью этого выражения находим, производя интегрирова­ние в (96,17) по поверхности сферы радиуса r(df_y — n_yr²do)i

i- <J> (х°А1«* - *p/j«<>y) df_Y = - JL \ (n_ati_yM»_y - n_finyM_ay) do =

1 2

= — "3 (OayMpv ^— °PY^Mav) = "3 ^MW

Аналогичное вычисление дает:

1 <§> №df_y = - (A_a0rf/_p -Л_роа!/_а) = i-M₄.

Складывая обе величины, получим требуемое значение M_ag.

Подчеркнем, что в общем случае, когда поле вблизи тела может не быть слабым, М_а$ есть момент импульса тела вместе с гравитационным полем. Лишь если поле слабо на всех расстоя­ниях, его вкладом в момент можно пренебречь¹).

Формулы (105,6—7) и (105,16) решают поставленный вопрос с точностью до членов порядка 1/г²²). Ковариантные компо­ненты метрического тензора:

gik^gfl + hft + h®. (105,17)

При этом, согласно (105,3), контравариантные компоненты с той же точностью равны

') Если вращающееся тело имеет сферическую форму, то направление М остается единственным выделенным направлением для поля во всем про­странстве вне тела. Если при этом поле слабо везде (а не только вдали от тела), то формула (105,16) справедлива во всем пространстве вне тела. Эта формула остается справедливой во всем пространстве и в том случае, когда центрально-симметричная часть поля не является везде слабой, но сферическое тело вращается достаточно медленно —см. задачу 1,

²) Преобразования (105,5) с £° = 0, %^a=t^a(x^l, х², х³) не меняют Аоа-Поэтому выражение (105,16) не зависит от выбора координаты г.

_g* _{= g}ik(о) _ _hik<d _ _hik(2, _{+ А}«₀,_А,. <» (Ю5,18)

Формула (105,16) может быть переписана в векторном виде как')

г = -^г[пМ], (105,19)

где М — вектор полного момента тела. В задаче 1 § 88 было показано, что в стационарном гравитационном поле на частицу действует «кориолисова сила», такая же, какая действовала бы на частицу в системе отсчета, вращающейся с угловой ско­ростью:

^q = y Vioo"rotg.

Поэтому можно сказать, что в поле вращающегося тела на уда­ленную частицу действует кориолисова сила, отвечающая угло­вой скорости:

Q^|rotg=-^_r[M-3n(Mn)]. (105,20)

Наконец, применим выражения (105,6) для вычисления пол­ной энергии гравитирующего тела по интегралу (96,16). Вычис­лив нужные компоненты п^ш по формуле (96,2—3), получим с требуемой точностью (оставляем члены <~1/г²):

16я& дх^р 8я дх^р \ г г / An г

Интегрируя теперь в (96,16) по сфере радиуса г, получим окон­чательно:

Р^а = 0, Р° = тс (105,21)

— результат, который естественно было ожидать. Он является выражением факта равенства, как говорят, «тяжелой» и «инерт­ной» масс («тяжелой» называют массу, определяющую созда­ваемое телом гравитационное поле, — это та масса, которая вхо­дит в метрический тензор в гравитационном поле или, в част­ности, в закон Ньютона; «инертная» же масса определяет соот­ношение между импульсом и энергией тела и, в частности, энер­гия покоя тела равна этой его массе, умноженной на с²).

') С рассматриваемой точностью вектор g_a — — goalioo » — goa-^{1,0 той же} причине в определениях векторного произведения и ротора (см. примечание на стр. 327) надо положить у = 1, так что их можно понимать в обычном для декартовых векторов смысле.

В случае постоянного гравитационного поля оказывается возможным вывести простое выражение для полной энергии ма­терии вместе с полем в виде интеграла только по пространству, занятому материей. Получить его можно, например, исходя из следующего выражения, справедливого, когда все величины не зависят от х° '):

*8 = -Г^-^т (л^Л). (Ю5,22) У-g дх^а

Интегрируя Ro^z—g по (трехмерному) пространству и приме­нив трехмерную теорему Гаусса, получим:

^{J Яо dV = <§ Aw '}

Взяв достаточно удаленную поверхность интегрирования и вос­пользовавшись на ней выражениями (105,6) для gik, получим после простого вычисления:

г>9 I л/ 4я£ 4nk _.о

Ro-W-gdV = — т = -^-Р .

Замечая также, что, согласно уравнениям поля,

_no 8nk /™о 1 ,тЛ Ank t~a ^i ггА ~,з\ до = —г- у о — * ) = -34- U о — •( 1 — ' 2 — •( з).

получаем искомую формулу:

Р° = тс = j^(T°₀ - Т\ - т1- 7|) dV. (105,23)

Эта формула выражает полную энергию материи и постоянного гравитационного поля (т. е. полную массу тела) через тензор энергии-импульса одной только материи (R. Tolman, 1930). На­помним, что в случае центральной симметрии поля мы имели для той же величины еще и другое выражение — формулу (100,23).

Задачи

') Из (92,7) имеем ^

D0_.0i_ff - i)i ( ^дТю | _rl _vm __vm_vl J Kq—g Kin — g I _dxi +^li0^llm ^lil^l0mj>

а с помощью (86,5) и (86,8) находим, что это выражение может быть написано как

о0 - ¹ д / /—- п(„1 \ Jmr.0 _vi , ^R° 'у— — В 8 ^гго) + g r_mjF_<0;

с помощью того же соотношения (86,8) легко убедиться в том, что второй член справа тождественно равен —^ Ij_m и вследствие независимо-

сти всех величин от х° обращается в нуль. Наконец, заменив по той же причине в первом члене суммирование по I суммированием по а, получим (105,22).

1. Показать, что формула (105,16) остается справедливой для поля во всем пространстве вне вращающегося сферического тела при условии мед­ленности вращения (момент М <С cmr_g), но без требования слабости цент­рально-симметричной части поля (А. Г. Дорошкевич, Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков, 1965; В. Г'урович, 1965).

Решение. В сферических пространственных координатах (*' = г, х* == в, х⁸==_ ф) формула (105,16) записывается как

Аоз=-^-з1п*в. (1)

Рассматривая эту величину как малую поправку к шварцшильдовой метрике (100,14), надо проверить выполнение линеаризованного по hoa уравнения Лоз = 0 (в осталы: лх уравнениях поля поправочные члены выпадают тожде­ственно). Лоз можно вычислить по формуле (4) из задачи к § 95, причем линеаризация сводится к тому, что трехмерные тензорные операции должны производиться по «невозмущенной» метрике (100,15). В результате полу­чается уравнение

\ 7~) "дг^ Т³"" г* Щ V"snTe" ~дТГ"/ ⁼

которому выражение (1) действительно удовлетворяет.