') Для фактического вычисления главных значений тензора Р_а$ нет необходимости производить преобразование к системе координат, декарто­вой в данной точке. Эти значения можно определить как корни X уравнения ! ^ор — I = 0.

²) Знание тензора Р_а$уб позволяет определить гауссову кривизну К лю- бой поверхности в пространстве. Укажем здесь лишь, что если х¹, х², х^г — ортогональная система координат, то

^ __ Р|212

YllY22— (Yl2)²

есть гауссова кривизна для «плоскости», перпендикулярной (в данной ее точке) к оси х³; под «плоскостью» понимается поверхность, образованная геодезическими линиями.

3) Мы увидим ниже (§ 95), что этим свойством обладает тензор кри- визны для гравитационного поля в пустоте.

Если же Rik Ф 0, то все то же самое будет относиться к тен­зору кривизны после выделения из него определенной части, выражающейся через компоненты Rt_k. Именно, составим тен­зор ')

Сшт = RiHm — ~2 Ritgkm + Tj" Rimght +

+ ^Rklgim -jRkmgil + ^R (gitgkm ~ gimghl)- (92,14)

Легко видеть, что этот тензор обладает всеми свойствами сим­метрии тензора Rmm, а при свертывании по паре индексов [U или km) дает нуль.

Покажем, каким образом строится классификация возмож­ных типов канонической формы тензора кривизны при = О (Л. 3. Петров, 1950).

Будем считать, что метрика в данной точке 4-пространства приведена к галилеевому виду. Совокупность 20 независимых компонент тензора Rmm представим как совокупность трех трех­мерных тензоров, определенных следующим образом:

Aafi — Rooty, dp = -г баув^рХц^б^И' ^^ар ~ ~2 ^easl>Ro$yu (92,15)

(e_ap_Y — единичный антисимметричный тензор; поскольку трех­мерная метрика декартова, нет необходимости делать при сум­мировании различие между верхними и нижними индексами). Тензоры Л_ар и C_ag по определению симметричны; тензор В_ар, вообще говоря, несимметричен, а его след равен нулю в силу (92,13). Согласно определениям (92,15) имеем, например:

Bu==/?oi23i B₂t = ^om> В₃₁ — Rom> C₁i=~₂j23> ••■

Легко видеть, что условия R_km — g^ilRikim = 0 эквивалентны следующим соотношениям между компонентами тензоров (92,15):

А_аа = 0, В_ч = В^_а, Л_а0 = -С_ар. (92,16)

Далее введем симметричный комплексный тензор

A* = _Y (Л_ае + 21Вц - С_ар) =. Л_а& + Ш_ар. (92,17)

') Это громоздкое выражение можно записать более компактно в виде

^Ciklm ' Riklm ~~ [l8k] m + #m \lSk\ I + 3" Квщёь] m>

где квадратные скобки означают антисимметризацию по заключенным в них индексам;

Тензор (92,14) называют тензором Вейля.

Такое объединение двух вещественных трехмерных тензоров Л_ар и В_ар в один комплексный тензор как раз соответствует объеди-

§ 92] Свойства тензора кривизны 343

нению (в § 25) двух векторов Е и Н в комплексный вектор F, а возникающая в результате связь между D_ap и 4-тензором Riktm соответствует связи между F и 4-тензором Fi_k. Отсюда следует, что четырехмерные преобразования тензора Riktm экви­валентны трехмерным комплексным поворотам, производимым над тензором D_a«-

По отношению к этим поворотам могут быть определены собственные значения X = X' + iX" и собственные векторы п_а (вообще говоря, комплексные) как решения системы уравнений

D„_pft_p = An_a. (92,18)

Величины X являются инвариантами тензора кривизны. По­скольку след D_aa — 0, то равна нулю также и сумма корней уравнения (92,18):

Я<» + Я<²> + Я<³> = 0.

В зависимости от числа независимых собственных векторов п_а мы приходим к следующей классификации возможных слу­чаев приведения тензора кривизны, — к каноническим типам Петрова I—III.

I) Имеются три независимых собственных вектора. При этом их квадраты п_ап^а отличны от нуля и соответствующим поворо­том тензор D_as, а с ним и Л„р, В_ар приводятся к диагональному виду:

'Я<'>' о о

о я<²>' о

(92,19)

о о -я»)' -Я^

'я<'>" о о

о я<²>" о

.о о -я»)"-^²)"

В этом случае тензор кривизны имеет 4 независимых инва­рианта ').

Комплексные инварианты Я*¹', Я⁽²⁾ выражаются алгебраи­чески через комплексные скаляры

h = -^{Riki_mR^iklm - iRtk_lmR^iklm),

h = -gg- (RikimR^lmprR_pr^ik + iRiki_mR^lmprR_Pr^ik), (92,20) где звездочка над буквой означает дуальный тензор:

Rikim ⁼ ~2 ЕtkprR^Prim-

') Вырожденный случай, когда Я⁽¹>' = Я<²>', Я<'>" = Я⁽²>", называют ти­пом D.

Вычислив /_ь /₂ с помощью (92,19), получим:

/₁ = 1(Я(02 _{+ Л}(2)2 _{+ Я}(1)_Л(2)_)> /₂ = ±л«>л<~(я«) +ЯЯ). (92,21)

Эти формулы позволяют вычислить Я⁽¹⁾, Я⁽²⁾, исходя из значений Rikim в любой системе отсчета.

II) Имеются два независимых собственных вектора. Квадрат одного из них при этом равен нулю, в связи с чем он не может быть принят за направление координатной оси. Можно, однако, принять его лежащим в плоскости х¹, х²; тогда n₂ = in_u Пз = 0. Соответствующие уравнения (92,18) дают:

D_n + iD_i2 = Я, D₂₂ — Ш₁₂ = Я,

откуда

D_n = k — щ, £)₂₂ = Я-Ни-, D_i2 = ii.

Комплексная величина к = к' -f ik" является скаляром и не мо­жет быть изменена. Величине же ц. путем различных комплекс­ных поворотов может быть придано любое (отличное от нуля) значение; можно поэтому без ограничения общности считать ее вещественной. В результате получим следующий канонический тип вещественных тензоров Л_ар, В_а§:

(V ц о \ /к" — ц О 0 \

О О -2Г / \ О О -2Я" /

В этом случае имеется всего два инварианта Я' и к". При этом согласно (92,21) 1_{ = к², /₂ = Я³, так что 1\ = 1\.

III) Имеется всего один собственный вектор с равным нулю квадратом. Все собственные значения Я при этом одинаковы, а потому равны нулю. Решения уравнения (92,18) могут быть приведены к виду D_n — D₂₂ — D_n = 0, D\z = \x,, £>₂₃ = щ, так что

/О 0|i\ /0 0 0\

Лр= °оо, я = оо Л (92,23)

Чц 0 0/ 40 р. о/

В этом случае тензор кривизны вовсе не имеет инвариантов, и мы имеем дело со своеобразной ситуацией: 4-пространство искривлено, но не существует инвариантов, которые могли бы являться мерой его кривизны¹).

Задачи

1. Выразить тензор кривизны Ра$\Ь трехмерного пространства через тензор 2-го ранга Р_ав.

Решение. Ищем Ра$уб ^в виде

^Ра$у& = ^ауУйб — ЛабУву + ЛрбУау — ЛруУаб.

') Такая же ситуация имеет место в вырожденном случае II при Я' =i = к" = 0 (его называют типом JV).

удовлетворяющем условиям симметрии; здесь А_а$ — некоторый симметрич­ный тензор, связь которого с Р_ар определяется путем упрощения написан­ного выражения по индексам а и у- Таким путем находим:

Ра$ = Л\ав + Л_ар, Л_ар = Р_ая - ~ Руар.

и окончательно:

р

^ра$ч6 — ^ауУрб — ^раЩч + ^p$&Vay ~ Р^Уаб + "g" (Ya6Ypy — YavYftfi)-

2. Вычислить компоненты тензоров R_lki_m и Р^для метрики, в которой тензор gi_k диагоналей.

Решение. Представим отличные от нуля компоненты метрического тензора в виде

8ti = ^el^e • ^eo^=I> ^ea = -^L

Вычисление по формуле (92,1) приводит к следующим выражениям для отличных от нуля компонент тензора кривизны:

Rnik=^ei^e 4^Fi,k^Fk,i + ^Fi,k^Fi,i-^Fi,i^Fi,k-^Fi,t,k)' ^l^^k*¹' ^liu = e_te^2Fl (F,. _tF_{lt {}— F²_t — F_{lt f}.,) + ef¹ {F_u ^ , - F²,, - F_f>;) -

тф1,1

(по повторяющимся индексам нет суммирования!). Индексы после запятой означают простое дифференцирование по соответствующей координате. Упрощая тензор по двум индексам, получим:

I ф i, k