I. Определить относительное 4-ускорение двух частиц, движущихся по бесконечно близким геодезическим мировым линиям.

Решение. Рассмотрим семейство геодезических линий, отличаемых значениями некоторого параметра v; другими словами, координаты мировой точки выражаются в виде функций х' = jc'(s, v), таких, что при каждом v = const это есть уравнение геодезической (причем s — длина интервала, отсчитываемого вдоль линии от ее точки пересечения с некоторой заданной гиперповерхностью). Введем 4-вектор

t дх¹ . !, ч — -^— ои S3 v' оо,

соединяющий на бесконечно близких геодезических (отвечающих значениям параметра v и о + бо) точки с одинаковыми значениями s.

Из определения ковариантной производной и равенства ди'/dv =dv^llds (где и' = dx'lds) следует, что

"';^ = °';*"^Й- О)

Рассмотрим вторую производную:

Во втором члене снова используем (1), а в первом меняем порядок кова-риантных дифференцирований с помощью (91,7) и находим:

Д²°* („I ,,ki,,mni ,.k.,l

~aW \^и :l^u)_ik^v +^и X mkl^{u v} •

Первый член равен нулю, поскольку вдоль геодезических линий й'.₍ы' = 0. Введя постоянный множитель Sv, находим окончательно уравнение;

-S--*^l*l«"*»^{,T,M (2)}

(его называют уравнением геодезического отклонения).

2. Записать уравнения Максвелла в пустоте для 4-потенциала в лорен* цевой калибровке.

Решение, Ковариантное обобщение условия (46,9) имеет вид:

Л';, = 0. (1)

Уравнения Максвелла можно, используя формулу (91,7), записать как

^^к-Аш'^к~ Л_1;*^:к - А_к'*., + A^mR_im- Ar_k-^к - О « Rib из (92,6). Тогда в силу (1):

§ 92. Свойства тензора кривизны

Тензор кривизны обладает свойствами симметрии, для пол­ного выявления которых следует перейти от смешанных компо­нент R'ktm к ковариантный:

Riklm — gtnR"klitf

Простыми преобразованиями легко получить для них следую- щее выражение:

р — ¹ ( ^d2giM I d²g» d²g_n d²ghm \ ,

*^lklm 2 V дх^к дх¹ дх' дх^т дх^к дх** дх' дх' ) "¹"

+ £_пр(ВД_т-11_тГ?,). (92,1)

Из этого выражения очевидны следующие свойства сим- метрии:

Riklm ⁼ —Rkilm — — Rikmh (92,2)

Riklm — Rlmikt (92,3)

т. е. тензор антисимметричен по каждой из пар индексов ik и 1т и симметричен по отношению к перестановке этих двух пар друг с другом. В частности, все компоненты Rikim, диагональные по паре индексов ik или 1т, равны нулю.

Далее легко проверить, что равна нулю циклическая сумма из компонент Rihtm, образованная по любым трем из их индек­сов, например:

' Rlklm + Rimkt + RiKnk^O (92,4)

Костальные соотношения такого рода получаются из (92,4) авто­матически в силу свойств (92,2—3)).

Наконец, докажем следующее тождество Бианки:

R"m, _m + i + Rⁿu_m; k = 0. (92,5)

Его удобно проверить, воспользовавшись локально-геодезиче­ской системой координат. В силу тензорного характера соотно­шение (92,5) будет тем самым справедливым и в любой другой системе. Дифференцируя выражение (91,4) и полагая затем в нем Гм — О, находим в рассматриваемой точке: