§ 90. Уравнения электродинамики при наличии гравитационного поля

Уравнения электромагнитного поля специальной теории от­носительности легко обобщить так, чтобы они были применимы в любой четырехмерной криволинейной системе координат, т. е, в случае наличия гравитационного поля.

Тензор электромагнитного поля в специальной теории отно-

дА, дА

сительности определялся как Р_1к=-^ Очевидно, что

теперь он должен быть соответственно определен как F_tk = = A_k; i — A_l;k. Но в силу (86,12)

дА. дА.

^ = Л,_;,-Л^=^--Ь (90,1)

так что связь Fik с потенциалом Л,- не меняется. Вследствие этого первая пара уравнений Максвелла (26,5)

dF._b dF_n dF..

-5# + l?-+^=⁰ <⁹⁰'²>

тоже сохраняет свой вид¹).

Для того чтобы написать вторую пару уравнений Максвелла, надо предварительно определить в криволинейных координатах 4-вектор тока. Это мы сделаем аналогично тому, как мы посту­пали в § 28. Пространственный элемент объема, построенного на элементах пространственных координат dx¹, dx², dx³, есть */ydV, где у — определитель пространственного метрического тензора (84,7), a dV = dx^xdx²dx³ (см. примечание на стр. 302).

Введем плотность зарядов р согласно определению^ = р Vy dV, где de —заряд, находящийся в элементе объема *JydV. Умно­жив это равенство с обеих сторон на dx¹, имеем:

de dx¹ = р dx¹ Vy dx¹ dx² dx³ = —= V— gdQ

Vgoo dx^u

,(мы использовали формулу — g==ygou (84,10)). Произведение V— gdQ есть инвариантный элемент 4-объема, так что 4-вектор тока определяется выражением

(величины dx'/dx° — скорости изменения координат со «време­нем» х° — сами не составляют 4-вектора!). Компонента /° 4-век­тора тока, умноженная на ■y/g~₀~o/c, есть пространственная плот­ность зарядов.

Для точечных зарядов плотность р выражается суммой б-функций аналогично формуле (28,1). При этом, однако, надо уточнить определение этих функций в случае криволинейных

') Легко видеть, что это уравнение может быть записано также и в виде откуда очевидна его ковариантность.

координат. Мы будем понимать б (г) по-прежнему как произве­дение б (л:¹) б (л:²) б (х³) вне зависимости от геометрического смысла координат к¹, х², х³; тогда равен единице интеграл по

dV (а не по Vyd¹/):^ b{r)dV — 1. С таким определением

б-функций плотность зарядов

а *

а 4-вектор тока

а ^а

Сохранение заряда выражается уравнением непрерывности, ко­торое отличается от (29,4) лишь заменой обычных производных ковариантными:

;'.,=-» -^=£/0 = 0 (90,5)

V— g дх¹

(использована формула (86,9)).

Аналогичным образом обобщается вторая пара уравнений Максвелла (30,2); заменяя в них обычные производные кова­риантными, находим:

F*;_k = -jL=.(V=^F") = (90,6)

V — g dx^R с

(использована формула (86,10)).

Наконец, уравнения движения заряженной частицы в грави­тационном и электромагнитном полях получаются заменой в (23,4) 4-ускорения du'/ds на Du^l/ds:

Du'

тс-

Задача

Написать уравнения Максвелла в заданном гравитационном поле в трехмерной форме (в трехмерном пространстве с метрикой Yafl)> введя 3-векторы Е, D и антисимметричные 3-тензоры В_ар и Я_ар согласно опре­делениям

Решение. Введенные указанным образом величины не независимы. Раскрывая равенства

р — _а ,_а plm pap _a^ala^^mF,

введя при этом трехмерный метрический тензор у_а^ = — g_a$ + hg_ag^

(g и h — из (88,11)) и воспользовавшись формулами (84,9) и (84,12), по­лучим:

Da—^r + gtH^. B^aP = ^J + ^£^a-g^a£p. (2)

Введем векторы В, Н, дуальные тензорам В_а^ и #_ag, согласно определени fl»-_-J^_e°PVfi_p7. #_a--iy_Ye«_pY//^Pv О)

(ср. примечание на стр. 327; знак минус введен для того, чтобы в галилее-вых координатах векторы Н и В совпадали с обычной напряженностью магнитного поля). Тогда (2) можно записать в виде

D = -^+[Hg], B--^r+[gEl. (4)

Вводя определения (1) в (90,2), получим уравнения:

"Г , ft т , „ ^и>

^дВа& , дЕ_а <Э£_р

дх^у дх^ дх^а

- = 0

дх° дх& дх^а или, перейдя к дуальным величинам (3):

div В = 0, rotE = (л/уй) (5)

с Vy dt

(хо = _ct; определение операций rot и div —в примечании на стр. 327). Ана­логичным образом из (90,6) находим уравнения

-7=--TT<Vv О^а)-4яр. V Y дх

^{1 д , (}_V^{v- //<*) + -L д} _w^- _{оа) =} ^_ _4яр ^*s_t

Vy дх*' Vy дх^а

или в трехмерных векторных обозначениях:

divD = 4np, rot Н = L_A(Vy"d) + — s, (6)

с Vy dt с

Где s — вектор с компонентами s^a = р dx^a/dt.

Выпишем для полноты также и уравнение непрерывности (90,5) в трех­мерной форме:

-Т=~(VY p) + divs = 0. (7)

Vy dt

Обратим внимание на аналогию (конечно, чисто формальную) уравне­ний (5), (6) с уравнениями Максвелла для электромагнитного поля в ма­териальных средах. В частности, в статическом гравитационном поле в чле­нах с производными по времени выпадает л/у, а связь (4) сводится к D = E/Va, В = Н/УЛ- Можно сказать, что в отношении своего воздей­ствия . на электромагнитное поле статическое гравитационное поле играет роль среды с электрической и магнитной проницаемостями е = ц.= 1/Ул.