§ 86. Связь символов Кристоффеля с метрическим тензором

Докажем, что ковариантная производная от метрического тензора gik равна нулю. Для этого заметим, что для вектора DAi, как и для всякого вектора, должно иметь место соотно­шение

DA_t = g_tkDA^k.

С другой стороны, Ai = gikA^k, и потому

DAi = D (gtkA^k) = g_ikOA^k + A^kDg_ik.

Сравнивая с DAi = gn,DA^k, имеем в виду произвольности век­тора А':

Dg_ik = 0.

') Можно показать также, что надлежащим выбором системы коорди­нат можно обратить в нуль все T^l_kt не только в данной точке, но и вдоль заданной мировой линии (доказательство этого утверждения можно найти в книге: П. К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ, «Нау­ка», 1964, § 91).

Поэтому и ковариантная производная

g_tk; 1 = 0. (86,1)

Таким образом, при ковариантном дифференцировании g_ik надо рассматривать как постоянные.

Равенством gik,i = 0 можно воспользоваться для того, чтобы выразить символы Кристоффеля через метрический тензор gik- Для этого напишем согласно общему определению (85,14):

_{а =} ^d8ik _{— а г}^т _{— 0 Г}^т _— ^д_-⁸_'^к _{— Г — Г =0}

Xikil дх1 Smft1 tl «*т* ы дхС 1 k,u 1 l.Kl

Таким образом, производные от gik выражаются через символы Кристоффеля¹). Напишем эти производные, переставляя ин­дексы i, k, I:

dgik _r ip dgu _г , _r dgki _{r v}

^{-~^Г — lk,it-r 1 t,kh -^k- — 4,ki-rli,tk> —-^r = —1 г,йг—ift.a.}

8зяв полусумму этих равенств, находим (помня, что Гг, ы —

Отсюда имеем для символов Т¹_Ы = g^imV_{m н}:

Т'_ы = 1 g^im (Ms*. ₊ Mf _ MM.). (86,3)

*' 2 ^& V дх^{1 П} дх^к дх"¹) ^х ' '

Эта формулы и дают искомые выражения символов Кри­стоффеля через метрический тензор.

Выведем полезное для дальнейшего выражение для упрощен­ного символа Кристоффеля Г^.. Для этого определим дифферен­циал dg определителя g, составленного из компонент тензора gik', dg можно получить, взяв дифференциал от каждой компо­ненты тензора g:_k и умножив ее на свой коэффициент в опреде­лителе, т. е. на соответствующий минор. С другой стороны, ком­поненты тензора g'*, обратного тензору ga, равны, как известно, минорам определителя из величин gik, деленным на этот опре­делитель. Поэтому миноры определителя g равны gg^ik. Таким образом,

dg = gg^tkdg_lk = - gg_ikdg^tk (86,4)

(поскольку g_lkg^ik = 6^ = 4, то g'^kdg_ik = — g_ikdg^ik). Из (86,3) имеем:

Г1 — ¹ „tm ( dgmfe - dg_mi dgki\

^lu-jS ^ _dxi -t-

дх* dx"

') Выбор локально-геодезической системы координат означает поэтому обращение в нуль в данной точке всех первых производных от компонент метрического тензора.

§ 86] Символы кристоффеля и метрический тензор 315

Меняя местами индексы т и i в третьем и первом членах в скобках, видим, что оба эти члена взаимно сокращаются, так что

уч 1 to dglm

«~2^g дх^к '

или согласно (86,4)

Г'_ы = ±^-=^д1п^ . (86,5)

^ы 2g dx^k dx^k '

Полезно заметить также выражение для величины g^klT^l_bl. Имеем:

С помощью (86,4) это можно преобразовать к виду

При различных вычислениях бывает полезным иметь в виду, что производные от контравариантного тензора g'^k связаны с производными от gik соотношениями

dg'^h _ jkdgu /«с ₇v

(получающимися при дифференцировании равенства g^g'^fe = =6*). Наконец, укажем, что производные от g^ik тоже могут быть выражены через величины Г^. Именно, из тождества g^tk. _г = 0 непосредственно следует, что

де'^к

^{^f}_x^{T = -K}_l^{Smk-Vn' (86,8)}

С помощью полученных формул можно привести к удобному виду выражение A\_t, являющееся обобщением дивергенции век­тора на криволинейные координаты. Воспользовавшись (86,5), имеем:

^А-' дх' ⁺ "^Л дх'^+А gx' ' или окончательно

_At Д_ дЫ-gA')^ V— g дх¹

Аналогичное выражение можно получить и для дивергенции антисимметричного тензора А'^к. Из (85,12) имеем:

Но поскольку А^тк = — А^кт, то

Vi Amk Г' A^km — Л

¹ тк^Л ~ ¹ кт^Л —^и-

Подставляя выражение (86,5) для Г* _fe> находим, следовательно:

_А» 1 *(Vj7*»), _(86)10)

Пусть теперь Аг* — симметричный тензор; определим выра­жение А^к._к для его смешанных компонент. Имеем:

_{л * k = Щ. + ПкА\ - г{и? = - ^ЦрИ - ivt.}

i;fe ^ft ¹ Ik i ik l ^j__{g dx}k ki I

Последний член здесь равен

2\dx^k dx¹ dx¹ )

В силу симметрии тензора А^ы два члена в скобках взаимно со-, кращаются, и остается

_ dAi dAk

В декартовых координатах —_к —j-j- есть антисимметрич­ный тензор. В криволинейных координатах этот тензор есть Ai-. k — Ak-,i- Однако с помощью выражений для Л_(;А и ввиду того, что Г_к1 = Г\_к, имеем:

A_t;k-A_ku = ^-^. (86,12)

<•* *•< _dxk _dxi V > /

Наконец, преобразуем к криволинейным координатам сумму j вторых производных от некоторого скаляра ф. Очевидно,

dx_tdx^l

что в криволинейных координатах эта сумма перейдет в <р:{. Но ф_;,- = дср/6\*», так как ковариантное дифференцирование ска­ляра сводится к обычному дифференцированию. Поднимая ин­декс I, имеем:

Ф'

_"-««3-

и с помощью формулы (86,9) находим:

1 д ( . /—г ik ду

( . I Г _*fe Оф \ /ос юч

Полезно заметить, что теорема Гаусса (83,17) для преобра­зования интеграла от вектора по гиперповерхности в интеграл по 4-объему может быть написана ввиду (86,9) как

fyA's^gdS^^Alti/^gda. (86,14)