§ 85. Ковариантное дифференцирование

В галилеевых координатах³) дифференциалы dAi вектора Ai образуют вектор, а производные dAi/dx^k от компонент вектора по координатам образуют тензор. В криволинейных же коорди­натах это не имеет места; dAi не есть вектор, a dAi/dx^k не есть тензор. _Это связано с тем, что dAj есть разность векторов, на­ходящихся в разных (бесконечно близких) точках пространства; в разных же точках пространства векторы преобразуются раз-

') Уыиожнв равенство (84,14) на gee и перенеся оба члена в одну сто­рону, можно представить условие синхронизации в виде dxa = ga/dx* = Q: должен быть равен нулю «ковариантиый дифференциал» их* между двумя бесконечно близкими одновременными событиями.

^г) Сюда же следует причислять случаи, когда метут быть обра-'ценю в нуль простым преобразованием временной координаты, не- затраги­вающим выбора системы объектов, служащих для определения простран­ственных координат.

^а) Вообще всегда, когда величины go, постоянны.

лично, так как коэффициенты в -формулах преобразования (83,2), (83,4) являются функциями координат.

В сказанном легко убедиться и непосредственно. Для этого выведем формулы преобразования дифференциалов dA_t в кри­волинейных координатах. Ковариантный вектор преобразуется согласно формулам

поэтому

_dА = J*L _dA> + _A'_d ^L ₌ ^l _dA> _{+ A}> Jlf_ _dx^ ¹ дх¹ дх¹ дх¹ дх¹ dx¹

Таким образом, dA_t преобразуется вовсе не как вектор (то же относится, конечно, и к дифференциалам контравариантных

д^гх'^к

векторов). Только в случае, если вторые производные —_;—т =

дх дх

= 0, т. е. если х'^к являются линейными функциями от х^к, фор­мулы преобразования имеют вид

т. е. dAi преобразуется как вектор.

Мы займемся теперь определением тензора, который играет в криволинейных координатах роль тензора dAi/dx^k в гали­леевых координатах. Другими словами, мы должны преобразо­вать dAi/dx^k от галилеевых координат к криволинейным.

Для того чтобы получить в криволинейных координатах диф­ференциал вектора, являющийся вектором, надо, чтобы оба вы­читаемых один из другого вектора находились в одной точке пространства. Другими словами, надо каким-то образом «пере­нести» один из двух бесконечно близких векторов в точку, где находится второй, после чего определить разность обоих век­торов, относящихся теперь к одной и той же точке пространства. Сама операция переноса должна быть при этом определена та­ким образом, чтобы в галилеевых координатах указанная раз­ность совпадала с обычным дифференциалом dAi. Поскольку dAi есть просто разность компонент двух бесконечно близких векторов, то это значит, что в результате операции переноса при пользовании галилеевыми координатами компоненты вектора не должны изменяться. Но такой перенос есть не что иное, как перенос вектора параллельно самому себе. При параллельном переносе вектора его компоненты в галилеевых координатах не меняются; если же пользоваться криволинейными координатами, то при таком переносе компоненты вектора, вообще говоря, из­менятся. Поэтому в криволинейных координатах разность ком­понент обоих векторов после перенесения одного из них в точку, где находится второй, не будет совпадать с их разностью до переноса (т. е. с дифференциалом dAi).

Таким образом, при сравнении двух бесокнечно близких век­торов мы должны один из них подвергнуть параллельному пе­реносу в точку, где находится второй. Рассмотрим какой-нибудь контравариантный вектор; если его значение в точке с коорди­натами х* есть А¹, то в соседней точке x^l -f dx¹ он равен А' + dA^l. Вектор А¹ подвергнем бесконечно малому параллельному пере­носу в точку х¹ + dx'; его изменение при этом обозначим по­средством 6ЛЧ Тогда разность DA' между обоими векторами, на­ходящимися теперь в одной точке, равна

DA

dA^l - 6Л\

(85,1)

Изменение 6Л' комопнент вектора при бесокнечно малом па­раллельном переносе зависит от величины самих компонент, причем эта зависимость должна, очевидно, быть линейной. Это следует непосредственно из того, что сумма двух векторов долж­на преобразовываться по тому же закону, что и каждый из них. Таким образом, 8А' имеет вид

ЬА¹ = — Г' ,A^k dx¹,

(85,2)

где — некоторые функции координат, вид которых зависит, конечно, от выбора системы координат; в галилеевой системе все Г^ = 0.

Уже отсюда видно, что величины не образуют тензора, так как тензор, равный нулю в одной системе координат, равен нулю и во всякой другой. В искривленном пространстве нельзя, конечно, никаким выбором координат обратить все везде в нуль.

Принцип эквивалентности требует, однако, чтобы надлежа­щим выбором системы координат можно было исключить гра­витационное поле в данном бесконечно малом участке про­странства, т. е. обратить в нем в нуль величины Г^, играющие, как мы увидим ниже в § 87, роль напряженностей этого поля¹).

Величины T^l_kt называют коэффициентами связности или сим­волами Кристоффеля.

Мы будем ниже пользоваться также и величинами Г\ *;²),

') Именно такую систему координат надо иметь в виду во всех рассу­ждениях, где мы для краткости говорим просто о галилеевой системе; тем самым все доказательства становятся относящимися не только к плоскому, но и к кривому 4-пространству.

соответственно

²) Вместо обозначений Г¹_к1 и Г_{4| kl} инопа пользуются обозначениями

определяемыми следующим образом:

^Г!.ы = */«Г«- (85,3)

Обратно:

П1 = ё^шГ_т,_ы. (85,4)

Легко связать и изменение компонент ковариантного вектора при параллельном переносе с символами Кристоффеля. Для этого заметим, что при параллельном переносе скаляры, оче­видно, не меняются. В частности, не меняется при параллельном переносе скалярное произведение двух, векторов.

Пусть Ai и В' — некоторый ковариантный и некоторый контравариантный векторы. Тогда из 8(Л,В<) = 0 имеем:

В< ЬА₁ = — A_t 8В' = T^l_klB^kA_t dx¹,

или, меняя обзначение индексов,

В¹ЬА. = Т^к_аА_кВЫх¹.

Отсюда имеем ввиду произвольности В':

M_f = r*^rfje', (85,5)

чем и определяется изменение ковариантного вектора при па­раллельном переносе.

Подставляя (85,2) и dA^l =-^4- dx¹ в (85,1), имеем:

дх*

^DAi = {^ ^{+ Yi}ki^Ak)^dxl- (85,6)

Аналогично находим для ковариантного вектораз

^DA' = {^-^Vu^A_k)^dxl- (⁸⁵'⁷>

Выражения, стоящие в скобках в (85,6—7) являются тен­зорами, так как умноженные на вектор dx¹ они дают снова век­тор. Очевидно, что они и являются теми тензорами, которые осу­ществляют искомое обобщение понятия производной от вектора на криволинейные координаты. Эти тензоры носят название ко~ вариантных производных соответственно векторов А¹ и Ai. Мы будем обозначать их посредством А¹_;и и Ai-,k. Таким образом,

DA¹ = A¹-, idx¹, DAi = Ai;idx^l, (85,8)

а сами ковариантные производные:

^А'и = ^Г + П^- (85,9)

Л| = 7?--^Г?Л- (85,10)

В галилеевых координатах Г^ = 0 и ковариантные производ­ные переходят в обычные.

Легко определить также ковариантную производную от тен­зора. Для этого надо определить изменение тензора при беско­нечно малом параллельном переносе. Рассмотрим, например, какой-нибудь контравариантный тензор, являющийся произве­дением двух контравариантных векторов Л'В*. При параллель­ном переносе имеем:

6 (А¹ В*) = A¹6B^k + B^k б А¹ == - А¹Г^к_тВ¹ dx^m - B^kT\_mA^l dx^m.

В силу линейности этого преобразования оно должно иметь место и для любого тензора А'^к:

6A^ik = _ (Л'Т*, + A^mkV_ml) dx>. (85,11)

Подставляя это в

DA^lk = _dA^ik - bA^ik = A^ih; i dx¹,

находим ковариантную производную тензора A^ik в виде

A^iku = ^ + ТшА^тк + Т^кшА^ш. (85,12)

Совершенно аналогично находим ковариантные производные смешанного и ковариантного тензоров в виде

_4;1«4^-^г_{«Л« + г£,М?, (85,13)}

дх'

дА

A_ik.,,^—f-rTiA_mk-T^A_im. (85,14)

дх'

Аналогичным образом можно определить ковариантную про­изводную тензора любого ранга. При этом получается следую­щее правило ковариантного дифференцирования: чтобы полу­чить ковариантную производную тензора А.'.', по х¹, к обычной производной дА'.у./дх¹ на каждый ковариантный индекс i{A'x) надо прибавить член — Г* Л.'ь., а на каждый контравариантный индекс i(A'.['.) надо прибавить член -f-Г^Л:*'.

Можно Легко убедиться в том, что ковариантная производная от произведения находится по тем же правилам, что и обычная производная от произведения. При этом ковариантную произ­водную от скаляра <р надо понимать как обычную производную, т. е. как ковариантный вектор ф* = дф/о\#*, в согласии с тем, что для скаляров бф = 0 и потому 1)ф = dtp. Например, кова­риантная производная произведения Л,5* равна

(A_lBJ_il*=A_f.._iBk + AtBb_ib

Поднимая у ковариантных производных индекс, указываю-* щий дифференцирование, мы получим так называемые контра», вариантные производные. Так,

At^ik = g^klAi:t, Aⁱ-^k = g^klA^l_i[.

Выведем теперь формулы преобразования от одной системы координат к другой для символов Кристоффеля.

Эти формулы можно получить, сравнивая законы преобразо­вания обеих частей равенств, определяющих любую из кова­риантных производных, и требуя, чтобы эти законы для обеих частей были одинаковы. Простое вычисление приводит к фор­муле

_Г1 _=Гт дх' дх"¹ дх'Р д*х'^т дх¹ - -

^ы *Р дх'^т дх" дх¹ дх^кдх¹ дх'^т ' ^У ' '

Из этой формулы видно, что величины Г'ы ведут себя как тен­зоры лишь по отношению к линейным преобразованиям коор­динат (когда исчезает второй член в (85,15)).

Заметим, однако, что этот член симметричен по индексам k, I; поэтому он выпадает при образовании разности S'_kl = Г_к[— Г\_к, Она преобразуется, следовательно, по тензорному закону

с< —s'm ^дх' ^дх'^{п дх}'"

kl пр _дх,_{т dx}k _дх1 •

т. е. является тензором. Его называют тензором кручения про­странства.

Покажем теперь, что в излагаемой теории, основанной на принципе эквивалентности, тензор кручения должен равняться нулю. Действительно, как уже говорилось, в силу этого прин­ципа должна существовать «галилеева» система координат, в которой в данной точке обращаются в нуль величины Т_к1, а сле­довательно и S_kl. На поскольку S_kl — тензор, то,, будучи рав­ным нулю в одной системе, он будет равен нулю и в любой си­стеме координат. Это означает, что символы Кристоффеля долж­ны быть симметричны по нижним индексам:

Г'_к1 = Г⁽_1к. (85,16)

Очевидно, что и

Г_{,_Ы = Г_МА. (85,17)

В общем случае имеется всего 40 различных величин Т_к1 —- для каждого из четырех значений индекса / имеется 10 различных пар значений индексов k и / (считая пары, получающиеся пере­становкой k и / одинаковыми).

Формула (85,15) позволяет доказать сделанное выше утверж­дение о возможности при условии (85,16) такого выбора си-

стемы координат, при котором все Т¹_Ы обращаются в нуль в любой наперед заданной точке (такую систему называют ло-кально-инерциальной или локально-геодезической, см. § 87)').

Действительно, пусть заданная точка выбрана в качестве начала координат и величины имеют в ней первоначально (в координатах х¹) значения (Г^)^ Произведем вблизи этой точки преобразование

*'' = *' +у (^Гы)о***'- (85,18)

Тогда ^

{ixbxT ~дх^\ ⁼ (^Г*')» ^(85,19)

и согласно (85,15) все Г'_п^т обращаются в нуль.

Подчеркнем, что условие (85,16) здесь существенно: выра­жение в левой части равенства (85,19) симметрично по индек­сам k, I, поэтому должна быть симметрична и правая часть равенства.

Заметим, что для преобразования (85,18)

поэтому оно не меняет значений любого тензора (в том числе тензора g,>) в заданной точке, так что обращение символов Кристоффеля в нуль может быть осуществлено одновременно с приведением g_ik к галилееву виду.