ЕШт _ дх' дхк дх1 дхт prst дх'" дх,г дх'3 дх'*

ИЛИ

где / — определитель, составленный из производных дх¹/дх^,р, т. е. не что иное, как якобиан преобразования от галилеевых координат к криволинейным:

. д (х°, х\ х\ X³) д{х'°,х'¹,х'²,х'³)'

') Везде, где при проведении аналогии мы пользуемся галилеевой систе­мой координат, надо иметь в виду, что такую систему можно выбрать толь­ко в плоском 4-пространстве. В случае же кривого 4-пространства надо было бы говорить о системе координат, галилеевой в данном бесконечно малом элементе 4-объема, которую всегда можно выбрать. Все выводы от этого уточнения не меняются.

Этот якобиан можно выразить через определитель метрического тензора go, (в системе х'). Для этого пишем формулу преобра­зования метрического тензора:

^s дх'¹ дх'^{т 8}

и приравниваем определители, составленные из величин, стоя­щих в обеих сторонах этого равенства. Определитель обратного тензора \g^lb\=\/g. Определитель же |g^/m(°>| = —1. Поэтому имеем l/g = —Л, откуда/= l/д/—g.

Таким образом, в криволинейных координатах антисиммет­ричный единичный тензор 4-го ранга должен быть определен как

_Ешт ₌ 1_ е^Шп. (83,13)

V— s

Опускание индексов у этого тензора осуществляется с помощью формулы

e^PrStglpgkrglsSmt = — S^elklm,

так что его ковариантные компоненты

Е_Шт = л/— ge_iklm. (83,14)

В галилеевой системе координат х'¹ интеграл от скаляра по dQ' = dx'°dx'^ldx'²dx'³ тоже есть скаляр, т. е. элемент dQ' ведет себя при интегрировании как скаляр (§ 6). При преобразовании к криволинейным координатам х¹ элемент интегрирования dQ' переходит в

dQ' -*jdQ= У—~g dQ.

Таким образом, в криволинейных координатах при интегрирова- нии по 4-объему ведет себя как инвариант .произведение

V- g dQ¹).

Все сказанное в конце § 6 относительно элементов интегри­рования по гиперповерхности, поверхности и линии остается в силе и в криволинейных координатах, с тем только отличием, что несколько меняется определение дуальных тензоров. Эле­мент «площади» гиперповерхности, построенный на трех беско-

') Если ф — скаляр, то величину ■V—g<f>, дающую при интегрировании по dQ инвариант, иногда называют скалярной плотностью. Аналогично го­ворят о векторной и тензорной плотностях л/ — g А¹, V— g A^ik и т. д. Эти величины дают вектор или тензор при умножении на элемент 4-объема dQ

(интеграл же ^ А¹ V — g dQ по конечной области, вообще говоря, не явля­ется вектором, так как законы преобразования вектора А' в разных точках области различны).

нечно малых смещениях, есть контравариантный антисимметрич­ный теязор dS^m; дуальный ему вектор получается при умноже­нии на тензор -у/— g e_iktm, т. е. равен

^~gdS_l = -±e_MmdS^klm^=g'. (83,15)

Аналогично, еели df*'* есть элемент поверхности {двухмер­ной), построенный на двух бесконечно малых смещениях, то дуальный ему тензор определяется как^л)

V=i^_t = у У=1*_Шя df^. (83,16)

Мы оставляем здесь обозначения dS_t и df_{k, как и прежде, соответственно для е_ышdS^klm и \e_mmdf^m (а не для их

произведений на У— g)\ правила (6,14—19^ для преобразова­ния различных интегралов друг в друга остаются тогда теми же самыми, поскольку их вывод имеет формальный характер, не связанный с тензорными -свойствами соответствующих величин. Из них нам в особенности понадобится правило преобразования интеграла по гиперповерхности в интеграл по 4-объему (тео­рема Гаусса), осуществляющегося заменой

dS_t-*dQ ■ (83,17)