§ 83. Криволинейные координаты

Поскольку при изучении гравитационных полей приходится рассматривать явления в произвольных системах отсчета, то

') Строго говоря, число частиц должно быть больше четырех. По­скольку из шести отрезков между четырьмя частицами можно построить че­тырехгранник, то должным определением системы отсчета всегда можно добиться того, чтобы система четырех частиц образовывала в ней неизмен­ный четырехгранник. Тем. более, можно определить взаимную неподвижность в системах трех или двух частиц.

возникает необходимость развить четырехмерную геометрию в форме, пригодной в произвольных координатах. Этому посвя­щены § 83, 85, 86.

Рассмотрим преобразование одной системы координат х°, х\ х², х³ в другую х'°, х?¹, х'², х'³:

X ¹ f ^Х ^ X f X ) X

где /' — некоторые функции. При преобразовании координат их дифференциалы преобразуются согласно формулам

_dx* = j?L_dx>\ (83,1)

Контравариантным 4-еектором называется всякая совокуп­ность четырех величин А', которые при преобразовании коорди­нат преобразуются как их дифференциалы:

^A' = -^k-^A'^k- <⁸³>²)

Пусть ф — некоторый скаляр. Производные ду/дх¹ при пре­образовании координат преобразуются согласно формулам

*L_e_*Li£±, (83,3)

отличным от формул (83,2). Ковариантным 4-векторои назы­вается всякая совокупность четырех величин At, которые при преобразовании координат преобразуются как производные от скаляра:

4'^в1й?^л'*- ^(83>4)

Аналогичным образом определяются 4-тензоры различных рангов. Так, контравариантным 4-тензором 2-го ранга А^1Н на­зывается совокупность 16 величин, преобразующихся как про­изведения двух контравариантных векторов, т. е. по закону

Ковариантный тензор 2-го ранга A_ik преобразуется по закону

дх^п дх'^т дх¹ дх^н

а смешанный 4-тензор Л'* —по формулам

At^^L^ZA^. (83,7)

дх ¹ дх*

Данные определения являются естественным обобщением определений 4-векторов и 4-тензоров в галилеевых координатах (§ 6), согласно которым дифференциалы dx¹ тоже составляют контравариантный, а производные дц>/дх' — ковариантный 4-век­тор¹).

Правила образования 4-тензоров путем перемножения или упрощения произведений других 4-тензоров остаются в криво­линейных координатах теми же, что и в галилеевых координатах. Легко, например, убедиться в том, что в силу законов преобра­зования (83,2) и (83,4) скалярное произведение двух 4-векторов A'Bi действительно инвариантно:

А% = -^Г ^-Г А'¹ В' = -^С А'¹ В' = А" В' ¹ дх'¹ дх^{1 т} дх'^{1 т 1}

Определение единичного 4-тензора б'_г при переходе к криво­линейным координатам не меняется: его компоненты снова 6£ = 0 при 1ф k, а при i = k равны 1. Если А" — 4-вектор, то при умножении на мы получим:

А% = А¹,

т. е. снова 4-вектор; этим и доказывается, что является тен­зором.

Квадрат элемента длины в криволинейных координатах есть квадратичная форма дифференциалов dx':

dsⁱ = g_lkdxⁱdx^k, (83,8)

где gik — функции координат; g_ik симметричны по индексам i и k:

gik = g_ki- (83,9)

Поскольку произведение (упрощенное) g_!k на контравари­антный тензор dx'dx^k есть скаляр, то gi_k составляют ковариант­ный тензор; он называется метрическим тензором.

Два тензора А* и В'" называются обратными друг другу, если

A_lkB» = b\.

В частности, контравариантный метрическим тензором g^ik на­зывается тензор, обратный тензору gik, т. е.

g_lkS^k'-4- (83,10)

Одна и та же векторная физическая величина может быть представлена как в контра-, так и в ковариантных компонентах.

') Но в то время как в галилеевой системе сами координаты х' (а не только их дифференциалы) тоже составляют 4-вектор, в криволинейных ко­ординатах это, разумеется, не имеет места.

Очевидно, что единственными величинами, которые могут опре­делять связь между теми и другими, являются компоненты ме­трического тензора. Такая связь дается формулами

Л'-я'М», A,*=g_tkA^k. (83,li)

(83,12)

При этом формулы (83,11) дают известную связь А° = А₀,

Сказанное относится и к тензорам. Переход между различ­ными формами одного и того же физического* тензора соверша­ется с помощью метрического тензора по формулам

A^l_k = g^ilA_lk, A^ik = g^ag^kmA_lm

и т. п.

В § 6 был определен (в галилеевой системе координат) со­вершенно антисимметричный единичный псевдотензор р^Шт. Преобразуем его к произвольной криволинейной системе коор­динат, причем обозначим его теперь через Е^Шт. Обозначение же gikim сохраним для величин, определенных по-прежнему по зна­чению е⁰¹²³=1 (или ео12з = — 1)-

Пусть х^п — галилеевы, а х¹— произвольные криволинейные координаты. Согласно общим правилам преобразования тензо­ров, имеем: